走近张名师张齐华
 |
|
张齐华，男，1976年出生，南京市北京东路小学教导处副主任，小学一级教师。曾多次获南通市和海门县数学教学评比一等奖，2003年获江苏省小学数学评比一等奖，连续三次在“教海探航”征文评比中获一等奖，50余篇教育教学论文发表在省级以上刊物。参与苏教版数学国标本教材的编写。曾获“南通市跨世纪学术技术带头人培养对象”、“海门市学科带头人”等称号。 张齐华，一个平凡的人，却在短短的教学生涯中创造出了不平凡的成绩。他的“不守规矩”的阅读，造就了他丰富的知识背景、开阔的认识视野和厚实的文化积淀；他的“以内养外”，用综合学养提升课堂教学品质造就了他的灵活自如的课堂驾驭能力。他的课，“质朴中内蕴思想深度、灵动中张显人格魅力”。 用文化润泽数学课堂 作者:张齐华 转自《人民教育》 数学，内在文化的消解及缘由 不得不承认，越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点。然而作为一种推论，既然承认数学自身是一种文化，那么以传承数学为目的的数学课堂，就当然具有了一种内在的文化性。于此种语境之下，再谈“用文化润泽数学课堂”，是否有些不合逻辑？ 问题恰在于此。认同某一事物具有文化性，并不等于这一事物就一定能在所有的境域中彰显出它的文化属性来。比方说，“鱼”很有营养价值，但糟糕的烹饪方式不仅会破坏其固有的营养价值，甚至还可能使其完全丧失营养、变成有害于健康的食物。 烹饪鱼是如此，教学数学又何尝不是这样？事实上，只要稍加辨析便不难发现，我们论定“数学是一种文化”，思考的对象是“科学范畴”里的数学，也即，我们探讨的还只是一般意义上的、以“学术形态”存在的客观的数学科学。此时的数学，它既是“人类创造活动的结晶”，同时，“对人的行为、观念、态度、精神等又具有重要影响”，无论从广义还是狭义上看，它都已具备作为一种文化的资格。然而进入学校视野、课堂范畴的数学，势必经历了一个从“科学数学”向“学校数学”，进而向“教育形态”的“课堂数学”的转换。转换的过程中是否消解了数学原有的文化属性，恰是我们深入探讨数学文化时应着力关注的话题。 现实境况不容乐观。反观当下的数学课堂，由于对知识、技巧等工具性价值的过度追逐，数学原本具有的丰富意蕴日益被单调、枯燥的数学符号所替代，并几乎成为了数学的全部，这使数学本该拥有的文化气质一点点被剥落、以致本属文化范畴的数学，正渐渐丧失着它的文化性。正是在这一意义上，重申“数学文化”，呼吁“还数学以文化之本来面目”，就成为数学实践层面迫切需要解决的问题。 数学的文化消解固然有多方原因，但教师对于数学不同的认知和理解所带来的教学行动的偏差却是重要的原因之一。试想，倘若教师在课堂中只认同数学是一门技术，那么习得、模仿、练习、熟练化势必会成为数学课堂中的强势语言。生活在这样的数学课堂里，学生如何去触摸、领略数学那开阔、丰富、优美、甚而是动人心魄的一面？而换一个视角，在我们的课堂中，倘若数学不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们可以感受数学丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类的智慧和人性光芒，此时的数学，又将以怎样的姿态展现在课堂？ 如此看来，文化可以在课堂被消解，也同样可以在课堂被重拾。二者之间，差异恰在于视角的切换。所以我一直坚持，文化应该成为数学课堂理应选择的视角和姿态。唯有如此，数学课堂彰显其文化的本性方有可能。 数学文化：概念误读与意义重建 在实践和探索的过程中，概念或命题的被误读已不是什么新鲜事，数学文化同样没能幸免。如何被误读，为何被误读，值得我们思考。 首先是概念的窄化。将数学文化简单等同于数学史，以为渗透了数学史，那就是一堂体现数学文化的课。应该说，数学史是数学文化的重要组成部分，但数学文化还远不是数学史能包容和涵盖的。 其次是概念的泛化。将数学文化和课堂文化混为一谈。课堂上人与人的不断对话、交往、互动无疑是一种文化现象，人们通常称之为课堂文化。事实上，不存在挣脱文化现象的课堂行为。然而，这里的“文化”关涉的是课堂活动本身，而并非指课堂中所承载的数学内容。一个充满着文化现象的数学课堂里，传递的未必就是带有丰富文化意蕴的数学内容，这足以表明二者的区别。不少教师将民主对话、平等交流等都纳入数学文化的领域，这显然不妥，是对数学文化的一种泛化，不利于我们认识数学文化本身，不利于我们准确把握数学真正的文化价值。 那么，究竟什么才是数学文化？数学又拥有怎样的文化价值呢？此处笔者无意于给出关于数学文化的确切定义，倒是更倾向于从这样一个角度给出自己对数学文化的理解。作为一种“看不见的文化”，数学在其发展过程中，伴随着数学知识的发生、生成、传播而在特定的数学共同体内积蓄下的对人的发展具有重要促进和启迪价值的数学思考方法、数学思想观念及数学精神品格等，这些都属于数学文化。具体而言，数学的文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”，由于数学并非对客观事物或现象量性特点的直接研究，而是通过相对独立的“模式”的建构，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。其次，数学学习需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次，数学看起来似乎与价值判断无关，然而数学依然具有至高无上的“善”，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如探索过程中的执着与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导过程中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。 文化，如何润泽数学课堂 “有些数学课很难体现数学文化，比如‘数与代数’领域的许多内容，尤其像计算课……”类似的声音并不鲜见，我以为，这同样涉及对数学文化价值的定位问题。正如前文所言，如果将数学文化窄化为数学史，那么，“数学文化”势必会成为某些数学课堂的奢侈品，而在更加普遍、更为一般的数学课堂里，它必然只是难以登堂入室的“稀客”。反之，对数学文化的泛化理解，又会带来这样的后果：一切皆为文化，也就没有了文化。 如此看来，教师首先要做的是调适好自己的数学观、数学文化观、数学价值观，这是文化能否润泽课堂的重要前提。唯有澄清了认识，实践才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及阅读与积累的问题了。比如，适当阅读一些关于数学文化领域的书籍、资料等，廓清自己对数学文化的理解。再如，可以涉猎一些关于数学历史典故、趣闻轶事等，必要时，还可以了解一些高等数学方面的内容、思想、方法，这对于打开自己的数学视野不失为一种可行的路径。 具体的课堂实践，我努力从数学概念、数学规则、数学思想方法及情感态度价值观四个方面切入，试图以更为日常化、更具涵盖性的数学内容和更加朴素的教学实践表达对数学文化的理解，追求数学文化的教育价值。 1．数学概念，在“头脑创造”中还原生命活力。 即便在“学校数学”的范畴里，概念通常也是以一种冷冰冰的姿态呈现在教材或者课堂上。但我们应明白，任何数学概念的形成、发展、生成，都经历了数学家无数的观察、分析、猜测、实验、判断、辨析、调整、优化等一系列数学思维活动。由此想见，即使是静态的数学概念，其必沉淀下丰富的数学内涵、数学思考、数学观念。如果课堂仅仅停留于对数学概念的被动认识、理解和传递上，那么内涵于“冰冷的美丽”背后的这些“火热的思考”将无法为学生所触及、所分享，数学概念“可能”的文化价值也无法成为“现实”力量。数学课堂，恰恰需要在这儿做一些工作。 比如“认识乘法”，当学生已经感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋ 再如认识“长方体的长、宽、高”，作为规定性知识，直接告知未尝不可。然而，倘若引导学生作这样的思考：如果将长方体12条棱中擦掉1条，你还能想像出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条……呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想像出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了这样三条棱（如右）时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。 2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。 和数学概念一样，对数学规则的学习同样面临着一个“冰冷美丽”和“火热思考”之间的抉择和转换。处理不当，规则学习会诱导学生陷入机械记忆、单纯模仿、反复操练的窠臼。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的生动过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。 比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”时，“从个位加起，满十进一”是绕不开的计算规则。在成人看来，“从个位加起”应是一件再自然不过的事，但学生究竟会如何理解、建构这一规则呢？教学时，我放手让学生自己探索24＋18的笔算方法，没想到，竟有不少学生选择了从十位加起（事实上，要合并两堆小棒，我们通常不也是先数数一共有多少捆，然后再将零散的小棒满十根一捆，最后得出结果的吗），过程如下： 24 ＋18 432(注：3划去) 面对这一状况，草率地否定这一思考显然不够理智，急于纠正更显得缺乏智慧，还是让他们自己在比较中去发现、去感悟吧。结果，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辩证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。 此外，“满十进一”也是数学中重要的规则之一。教学时，我没有仅仅停留于“告诉”，而是在学生认识“十进制”后，进一步拓展他们的视野，给他们介绍了关于五进制、七进制、十二进制的知识，并引导他们思考诸如“不同的进制之间有什么共同的地方”、“十进制之所以被广泛应用，可能的原因是什么”、“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。或许这样的思考对于学生巩固或强化十进制并无太大帮助，然而正是有了这样的适度开掘，学生的视野开阔了，尤其是，数学发展过程的多元化，数学思考的多样性，数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。 3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。 离开学校后，真正能留存于个体脑海中的具体数学知识、技能往往很少，但数学方法、策略、思想却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于学生内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。这是数学文化价值集中体现的又一重要方面。 较之于知识、技能而言，方法、思想和策略更为内隐，常潜伏于许多看似普通的数学知识、数学技能的学习过程中，需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂中予以传递。 如教学“认识分数”时，面对如下问题“在括号里填上合适的分数”（见下图），我有意将后两幅图中的等分线隐去，使这一内容诱导出了更多的数学内涵。 其中有估计意识的培养（估计后两幅图中涂色部分占整体的几分之一）、有思维策略的综合应用（对第三幅图的估计）、有极限思想的渗透（引导学生想象并感受：如果继续往下平均分，份数越多，表示每一份的分数会怎样）等。朴素的内容完全可以承载丰厚的数学内涵，每一堂课，我们都可以作出这样的思考。 此外，我还结合具体数学内容进行“数学思维方法”或“问题解决策略”的主题性教学实践（义务教育课程标准苏教版小学数学教材将“解题策略”作为具体板块进行教学，比如“综合与分析”、“画图与列表”、“倒推”、“假设”、“枚举”、“转化”等），效果也很好。 4．挖掘数学内容中的丰富情感、态度和价值观。 在更多课堂，一句“使学生感受数学与生活的密切联系，体验数学的应用价值”，往往便将数学学习中原本更为丰富、多元、立体的情感、态度和价值观掩盖。事实上，数学可以给予个体情感、态度、价值观方面的影响远不止于此，前文第二小节已有描述，此处不赘。具体的实践过程中，我认为应注意两个问题。 首先是如何正确对待数学史料的问题。历史往往沉淀下许多值得流传的史实与价值观念。我们不能仅仅停留于对史实的介绍上，而应引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响。如祖冲之是中国古代研究圆周率的骄傲，但仅到此为止，并进行肤浅的爱国主义教育是不够的。他在研究过程中如何“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧；他不满足于既有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等，更应该透过课堂浸润到学生的内心深处。我在教学时，将这一段数学历史有机融入到具体的周长公式的探索过程中来，学生的感受更丰富了，认识也更全面了。此外，我还适时地介绍了我国古代数学的领先与现代数学的落后，并给学生分析造成这一后果的内在原因，深刻的民族尊严感和为中华数学之崛起而奋斗的决心在学生心中升腾。 当然，数学更多的价值观念应该渗透于日常的教学内容与学习活动当中。教学“小数点移动引起大小变化”，我引导学生感受踏实、严谨的数学作风；教学“交换律”、“正反比例”时，我适时给学生渗透些“变与不变”的观念等。渗透重在日积月累，日常、朴素的数学内容中都挖掘并渗透上一点，那么，六年的数学学习对于学生而言，难道不正是一趟美妙、丰硕的精神之旅吗？ |
暑假期间，我搜索了关于张齐华的许多课例，阅读了许多他的文章，真是领略了明师风采，即明辨之师、高明之师。《认识整万数》、《因数和倍数》、《运算律》、《认识分数》、《走进圆的世界》、《美妙的轴对称图形》、《简单的统计》、《平均数》无不精彩。《数学教师理应具备的几种视角》、《数学究竟姓什么》、《学校为谁而“美丽”？ 》、《为孩子的数学心灵积蓄一种力量》都颇有感慨，而同时，心底的崇敬之情不禁油然而生。
他的课堂，无论是他的课堂驾驭能力还是艺术水准，都使我鞭策莫及。他的课清新自然，在从容、幽默的语言中，更多了一份智慧、灵动和诗意。他的引导是那么的恰到好处、他的评价是那么的睿智幽默、他的激励是那么的真诚大方、他的倾诉是那么的诗情画意，美不胜收……他的教学，已不再是刻意牵引，更多的是主张师生的平等对话、学生的个性张扬。更难能可贵，让人感动的是张老师在课中对于数学文化的关注、思考和实践。从“走进圆的世界”中对于数学历史性及数学美的关注，到“美妙的轴对称图形”中对于自然、社会、民俗等众多文化领域的有机涉猎，再到“因数和倍数”中对于数学本身所内涵的魅力、人类不断探索的精神等文化力量的有效开掘。无不将“文化”以一种厚重、开阔、深邃、美丽呈现在小学的数学课堂。
他的讲座，他对课堂捉“虫”的能力和把握问题的本质能力，更使我望尘莫及。他说“一堂好的数学课，并不是因为老师们在听课的时候笑了，或是因为孩子们在活动中激动的不得了就认为上的好。……一堂好的数学课的本质是要彰现数学思考，提升学生的思考能力，这样才能有真正的教育价值。”可是在我们的教师中，有几个能充分体会到其中丰富的内涵？又有几个能做到教育教得有价值呢？
他的评价，真让我感动敬佩。“你真细心！”“咱们班的同学真活跃！”“你知道的可真多！”“观察的真仔细！”“咱们班的同学多善解人意呀！”等等。看似微不足道的评价语言，在学生的心里却激起不小的情感波澜。对于整个教学效果的提高起到了相当程度的积极影响。“有时候，不要过分相信自己的眼睛，看上去象轴对称图形的也许不是，看上去不象的偏偏却是。”，““我跟你握手不是我赞成你的说法，而是感谢你为课堂创造出了两种不同的声音。想想，要是我们的课堂只有一种声音，那该多单调啊！”这些随机的课堂语言，多么智慧和精彩。
张齐华教学连载
1、“认识分数”教学设计
南京市北京东路小学 作者：张齐华
教学内容：
江苏教育版义务教育课程标准实验教科书小学数学三年级（上册）第98~100页“认识几分之一”。
教学目标：
1．使学生结合具体情境初步认识几分之一，并学会运用直观的方法比较几分之一的大小。
2．使学生认识分数的各部分名称，能正确读、写表示几分之一的分数。
3．结合观察、操作、比较、联想等活动，丰富学生的数学活动经验，并引导学生和同伴交流数学思考的结果，获得积极的情感体验。
4．使学生体会数学来自生活实际的需要，感受数学与生活的联系，进一步产生对数学的好奇心和兴趣。
教学过程：
一、情境——冲突
⑴把4个苹果、2瓶矿泉水平均分给2人，每人分得多少？
结合学生的交流，揭示：每份分得同样多，数学上叫做“平均分”。
⑵把一个蛋糕平均分成2份，每人分得多少？
学生交流，自然引出“一半”。
⑶如何用数来表示“一半”？
学生交流自己的想法，教师揭示课题：认识分数。
二、活动——建构
（一）着力建构二分之一
⑴直观感知，初步认识。
①我们把蛋糕平均分成了几份？“一半”是其中的几份？
结合学生的交流，教师揭示：“一半”可以用表示。
②这一份是蛋糕的，那一份呢？
小结：把一个蛋糕平均分成2份，每份是它的。
⑵动手操作，深化认识。
①学生动手折长方形纸，并给其涂上颜色。
②学生交流各种不同的折法。
③深究：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部分都是长方形的？
⑶观察判断，拓展认识。
下列图形中（图略），哪些图形的涂色部分可以用表示？
①学生交流，并说明判断理由。
②小结：只有把一个物体或一个图形平均分成2份，每份才是它的。
（二）类比迁移，认识几分之一
⑴联想：你还想认识几分之一？
⑵操作：学生自主动手折纸、涂色，表示出图形的几分之一。
⑶交流：你表示出了几分之一？你是怎么表示的？
⑷深究：（选择学生作品中不同图形的）这些图形的形状不同，为什么涂色部分都能用表示？
（三）深入探究，比较分数大小
⑴引导：从学生作品中选择同样大小圆的和，引导学生比较得出：＞。
⑵拓展：如果用同样大小的圆表示出它的，猜一猜和、相比，大小会怎样？
学生猜测后，再结合学生自己的作品，验证猜想。
⑶交流：组内学生用的图形完全一样，各表示出几分之一？哪一个大，哪一个小？组内交流。
（四）学写分数
⑴指导书写：教师指导学生写，学生书空。
⑵看图写数：引导学生完成“想想做做”第1题（看图写分数）。
（五）认识各部分名称
⑴学生自学教材，认识分数各部分的名称。
⑵结合，交流分数各部分名称及具体含义。
（六）估计、比较、沟通
⑴把“想想做做”第3题的整张纸条全部涂色，可以用数“1”表示。学生估计下面两张纸条中的涂色部分各用几分之一表示。
⑵交流估计结果及估计策略。
⑶整体观察，初步渗透“几分之一”和“1”的联系。
⑷想像拓展：如果继续往下平均分，还可能出现几分之一？平均分的份数越多，表示每份的分数将会怎样？
三、应用——提升
⑴联想：法国国旗、五角星、巧克力让你联想到了几分之一？
结合巧克力图，再引导学生从不同角度展开联想，得到不同的分数。
⑵估计：《科学天地》《艺术园地》各约占黑板报版面的几分之一？
学生估计，并交流结果。
⑶拓展：播放广告，引导学生观察并思考：广告中动态的画面让你联想到了几分之一？
2、教学《交换律》（张齐华）
一个例子，究竟能说明什么？
师：喜欢听故事吗？
生：喜欢。
师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。(故事略)听完故事，想说些什么吗？
结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。
师：观察这一等式，你有什么发现？
生1：我发现，交换两个加数的位置和不变。
(教师板书这句话)
师：其他同学呢？(见没有补充)老师的发现和他很相似，但略有不同。(教师随即出示：交换3和4的位置和不变)比较我们俩给出的结论，你想说些什么？
生2：我觉得您(老师)给出的结论只代表了一个特例，但他(生1)给出的结论能代表许多情况。
生3：我也同意他(生2)的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置和不变”好像不太好。万一其它两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。
师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想(教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得——
生：验证。
验证猜想，需要怎样的例子？
师：怎么验证呢？
生1：我觉得可以再举一些这样的例子？
师：怎样的例子，能否具体说说？
生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可这一想法）
师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？
生2：五、六个吧。
生3：至少要十个以上。
生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的位置和变了呢？（有人点头赞同）
生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！
师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三、四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家行吗？
学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例。
师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。
（教师展示如下两种情况：1．先写出12＋23和23＋12，计算后，再在两个算式之间添上“＝”。2．不计算，直接从左往右依次写下“12＋23＝23＋12”。）
师：比较两种举例的情况，想说些什么？
生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）
生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底等不等，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。
（大家对生6、生7的发言表示赞同。）
师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？
（几位同学不好意思地举起了手。）
师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。
师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？
生8：我举了三个例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。从这些例子来看，交换两个加数的位置和不变。
生9：我也举了三个例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也觉得，交换两个加数的位置和不变。
（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之。）
师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、二位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？
生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。
生11：我不同意。如果举得例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数的位置和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。
生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。
（多数学生表示赞同。）
师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？
教师出示作业纸：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。
生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。
生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。
师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明，交换——
生：任意两个加数的位置和不变。
师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置和不变”这个结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置和变了？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？
生：能。
（教师重新将“？”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”）
师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其它收获？
生：我发现，只举一、两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。
生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。
师：从“朝三暮四”的寓言中，我们得出“3+4＝4+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例，验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？
（学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书。）
师：在这一规律中，变化的是两个加数的――（板书：变）
生：位置。
师：但不变的是――
生：它们的和。（板书：不变）
师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。
结论，是终点还是新的起点？
师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”那么，在——
生1：（似有所悟）减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？
（学生中随即有人作出回应，“不可能，差肯定会变。”）
师：不急于发表意见。这是他（生1）通过联想给出的猜想。
（教师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变？”）
生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变？
（教师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变？”）
生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗？
（教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变？”）
师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其它变换，形成不一样的新猜想吗？
生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”、“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？
师：这是一个与众不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。(教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置和不变？”)现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。
（学生选择猜想，举例验证。教师参与，适当时给予必要的指导。然后全班交流。） 师：哪些同学选择了“猜想一”，又是怎样验证的？
生5：我举了两个例子，结果发现8－6＝2，但6－8却不够减；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5却不够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。
师：根据他举的例子，你们觉得他得出的结论有道理吗？
生：有。
师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，3－3＝0，交换两数的位置后，3－3还是得0；还有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，这样的例子多着呢。
生6：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就不行了。
生7：我还有补充，我只举了一个例子，2－1≠1－2，我就没有继续往下再举例。师：哪又是为什么呢？
生7：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想肯就错了。
师：同学们怎么理解他的观点。
生8：（略。）
生9：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。
师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称作“正例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称作――
生：反例。
（有略。）
师：关于其它几个猜想，你们又有怎样的发现？
生10：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置积也不变。
师：能给大家说说你举的例子吗？
生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。
（另有数名同学交流自己举的例子，都局限在整数范围内。）
师：那你们都得出了怎样的结论？
生11：在乘法中，交换两数的位置积不变。
生12：我想补充。应该是，在整数乘法中，交换两数的位置积不变，这样说更保险一些。
师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？
（对猜想三、四的讨论略。）
随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题（略），从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解，并借助实际问题，沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系。
怎样的收获更有价值？
师：通过今天的学习，你有哪些收获？
生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。
生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。
生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。
生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。
师：只有一个例子，行吗？
生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。
（作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。“真有意思，”天文学家说：“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。”数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）
必要的拓展：让结论增殖！
师：在本课即将结束的时候，依然有一些问题需要留给大家进一步展开思考。
（教师出示如下算式：20－8－6○20－6－8 ; 60÷2÷3○60÷3÷2）
师：观察这两组算式，你发现什么变化了吗？
生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置，第二组算式中，两个除数也交换了位置。
师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？这些结论和我们今天得出的结论有冲突吗，又该如何去认识？
3、《 圆的认识》 (走进圆的世界) 张齐华
●背景分析
“圆的认识”一课选自小学数学教材第11册，是在学生认识了长方形、正方形、三角形等多种平面图形的基础上展开，也是小学阶段认识的最后一种常见的平面图形。教材的编排思路是先借助实物揭示出“圆”，让学生感受到圆与现实的密切联系，再引导学生借助“实物”、“圆规”等多种方式画圆，初步感受圆的特征，并掌握用圆规画圆的方法，在此基础上，再引导学生通过折一折、画一画、量一量等活动，帮助学生认识直径、半径、圆心等概念，同时掌握圆的基本特征。这样的编排，学生对于圆的相关概念及特征的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于圆所内涵的文化特性也无从感受、体验，对于圆在历史、文化、数学发展过程中与人类结下的不解之缘感受不深。
基于这样的认识，我试图对本课的教学思路进行重新调整：一方面，通过拓展空间，将学生进一步置身于探索者、发现者的角色，引导学生在认识完圆的一些基本概念后，自主展开对于圆的特征的发现，并在交流对话中完善相应的认知结构；另一方面，我又借助媒体，将自然、社会、历史、数学等各个领域中的“圆”有效整合进本课教学，充分放大圆所内涵的文化特性，努力折射“冰冷”图形背后所散发的独特魅力。
想起美国学者泽布罗夫斯基，曾因为“在凝望波涛的时候”而产生了写作《圆的历史》这一迷人著作的冲动，而我――一个普通的年轻教师，又是如何想起要在自己的课堂里打破常规、冲破樊篱，演绎“走进圆的世界”这一多少有些另类的教学案例的呢？如今回想起来，是平静水面上漾起的一圈圈涟漪？是阳光下朵朵绽放的金色向日葵？是慈母心中那轮永恒的明月？是“长河落日圆”中夕阳下落日的余辉？是伟大思想家墨子笔下“圆，一中同长也”和数学巨著《周髀算经》中“圆出于方，方出于矩”的召唤？是古老的阴阳太极图所给予的神秘诱惑？是“没有规矩，不成方圆”这一古训背后的力量？还是西方数学哲学中“圆是最美的图形”所带来的无限诱惑？似乎都是，又不完全是。只是有一种莫明的冲动，一直萦绕心头，那就是：怎样让数学课堂再厚重些、开阔些、深邃些、美丽些……藉此，想到了圆，继而，便有了“走进圆的世界”这一大胆尝试。
●过程描述
［一］
师：对于圆，同学们一定不会感到陌生吧？（是）生活中，你们在哪儿见到过圆形？
生：钟面上有圆。
生：轮胎上有圆。
生：有些钮扣也是圆的。
……
师：今天，张老师也给大家带来一些。见过平静的水面吗，（见过。）如果我们从上面往下丢进一颗小石子（播放动态的水纹，并配以石子入水的声音），你发现了什么？
生：（激动地）水纹、水纹、圆……（声音此起彼伏）
师：其实这样的现象在大自然中随处可见，让我们一起来看看。（伴随着优美的音乐，阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等画面一一展现在学生的眼前，见图①）从这些现象中，你同样找到圆了吗？
图①
生：（惊异地，慨叹地）找到了。
师：有人说，因为有了圆，我们的世界才变得如此美妙而神奇。今天这节课，就让我们一起走进圆的世界，去探寻其中的奥秘，好吗？
生：（激动地）好！
［二］
师：俗话说，“没有规矩，不成方圆”。意思是说，如果没有圆规，是――
生：――画不出圆的。
师：同学们都准备了一把圆规，你能试着用它在白纸上画出一个圆吗？
生：能。
（学生尝试用圆规画圆，交流，明确圆规画圆的基本方法。）
师：可要是真没有了圆规，比如在圆规发明之前，我们就真画不出一个圆了吗？
生：不可能。
师：今天，每个小组还准备了很多其他的材料。你能利用这些材料，试着画出一个圆吗？
生：能。
（学生以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆。）
师：张老师发现，每个小组都有了各自精彩的创造。让我们一起来分享。
生：我们组将圆形的瓶盖按在白纸上，沿着瓶盖的外框画了一个圆。
师：那叫“拷贝不走样”。（生笑）
生：我们手中的三角板中就有一个圆形窟窿，利用它，很方便地画出了一个圆。
师：真可谓就地取材，挺好！（笑）
生：我们组在绳子的一端系一支铅笔，另一端固定在白纸上，绳子绷紧，将铅笔绕一圈，也画出了一个圆。
师：看得出，你们组的创作已经初步具备了圆规的雏形。
生：我们组在绳子的一端系上一块橡皮，抓住绳子的另一端一甩，也同样出现了一个圆。
师：尽管这一方法没有能在白纸上最终“画”出一个圆，但他们的创造仍然是十分美妙的，不是吗？（生热烈鼓掌）
师：可是，既然不用圆规，我们依然创造出了这么多画圆的方法，那么俗语中为什么还会有“没有规矩，不成方圆”的说法呢？
生：我想，大概是古时候的人们没想到这些方法吧？（生笑）
生：我觉得不是这样，因为，或许一开始，“没有规矩，不成方圆”指的是没有圆规和“矩”画不出方和圆，但是流传到后来，它的意思已经发生了改变，不再仅仅指原来的意思了，而是指很多事情，必须要讲究规矩，遵循章法。（不少同学投以赞许的目光）
师：真没想到，一条普通的数学规律，经过千年流传，竟逐渐成为我们生活中一条重要的人生准则。当然，同学们能够利用各自的智慧，成功演绎“没有规矩，仍成方圆”，足以说明大家不凡的创造力了。
［三］
（通过自学，学生认识完半径、直径、圆心等概念后。）
师：学到现在，关于圆，该有的知识我们也探讨得差不多了。那你们觉得还有没有什么值得我们深入地去研究？
生：有（自信地）。
师：说得好，其实不说别的，就圆心、直径、半径，还蕴藏着许多丰富的规律呢，同学们想不想自己动手来研究研究？（想！）同学们手中都有圆片、直尺、圆规等等，这就是咱们的研究工具。待会儿就请同学们动手折一折、量一量、比一比、画一画，相信大家一定会有新的发现。两点小小的建议：第一，研究过程中，别忘了把你们组的结论，哪怕是任何细小的发现都记录在学习纸上，到时候一起来交流。第二，实在没啥研究了，别急，老师还为每一小组准备一份研究提示，到时候打开看看，或许对大家的研究会有所帮助。
（随后，伴随着优美的音乐，学生们以小组为单位，展开研究，并将研究的成果记录在教师提供的“研究发现单”上，并在小组内先进行交流）
师：光顾着研究也不行，我们还得善于将自己的发现和大家一起交流、一起分享，你们说是吗？（是）很多小组都向张老师推荐了他们刚才的研究发现，张老师从中选择了一部分。下面，就让我们一起来分享大家的发现吧！
生：我们小组发现圆有无数条半径。
师：能说说你们是怎么发现的吗？
生：我们组是通过折发现的。把一个圆先对折，再对折、对折，这样一直对折下去，展开后就会发现圆上有许许多多的半径。
生：我们组是通过画得出这一发现的。只要你不停地画，你会在圆里画出无数条半径。
生：我们组没有折，也没有画，而是直接想出来的。
师：噢？能具体说说吗？
生：因为连接圆心和圆上任意一点的线段叫做圆的半径，而圆上有无数个点（边讲边用手在圆片上指），所以这样的线段也有无数条，这不正好说明半径有无数条吗？
师：看来，各个小组用不同的方法，都得出了同样的发现。至少直径有无数条，还需不需要再说说理由了？
生：不需要了，因为道理是一样的。
师：关于半径或直径，还有哪些新发现？
生：我们小组还发现，所有的半径或直径长度都相等。
师：能说说你们的想法吗？
生：我们组是通过量发现的。先在圆里任意画出几条半径，再量一量，结果发现它们的长度都相等，直径也是这样。
生：我们组是折的。将一个圆连续对折，就会发现所有的半径都重合在一起，这就说明所有的半径都相等。直径长度相等，道理应该是一样的。
生：我认为，既然圆心在圆的正中间，那么圆心到圆上任意一点的距离应该都相等，而这同样也说明了半径处处都相等。
生：关于这一发现，我有一点补充。因为不同的圆，半径其实是不一样长的。所以应该加上“在同一圆内”，这一发现才准确。
师：大家觉得他的这一补充怎么样？
生：有道理。
师：看来，只有大家互相交流、相互补充，我们才能使自己的发现更加准确、更加完善。还有什么新的发现吗？
生：我们小组通过研究还发现，在同一个圆里，直径的长度是半径的两倍。
师：你们是怎么发现的？
生：我们是动手量出来的。
生：我们是动手折出来的。
生：我们还可以根据半径和直径的意义来想，既然叫“半径”，自然应该是直径长度的一半喽……
师：看来，大家的想象力还真丰富。
生：我们组还发现圆的大小和它的半径有关，半径越长，圆就越大，半径越短，圆就越小。
师：圆的大小和它的半径有关，那它的位置和什么有关呢？
生：应该和圆心有关，圆心定哪儿，圆的位置就在哪儿了。
生：我们组还发现，圆是世界上最美的图形。
师：能说说你们是怎样想的吗？
生：生活中，我们到处都能找到圆。如果没有了圆，我们生活的世界一定会缺乏生机
生：我们生活的世界需要圆，如果没有了圆，车子就没法自由的行驶……
师：当然，张老师相信，同学们手中一定还有更多精彩的发现，没来得及展示。没关系，那就请大家下课后将刚才的发现剪下来，贴到教室后面的数学角上，让全班同学一起来交流，一起来分享，好吗？
生：好。
［四］
师：其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述道：“圆，一中同长也。”所谓一中，就是指一个――
生：圆心。
师：那同长又指什么呢？大胆猜猜看。
生：半径一样长。
生：直径一样长。
师：这一发现，和刚才大家的发现怎么样？
生：完全一致。
师：更何况，我古代这一发现要比西方整整早一千多年。听到这里，同学们感觉如何？
生：特别的自豪。
生：特别的骄傲。
生：我觉得我国古代的人民非常有智慧。
师：其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些。老师这儿还搜集到一份资料，《周髀算经》中有这样一个记载，说“圆出于方，方出于矩”，所谓圆出于方，就是说最初的圆形并不是用现在的这种圆规画出来的，而是由正方形不断地切割而来的（动画演示：圆向方的渐变过程，如图②）。现在，如果告诉你正方形的边长是6厘米，你能获得关于圆的哪些信息？
图②
生：圆的直径是6厘米。
生：圆的半径是3厘米。
师：说起中国古代的圆，下面的这幅图案还真得介绍给大家（出示图③），认识吗？
图③
生：阴阳太极图。
师：想知道这幅图是怎么构成的吗？（想！）原来它是用一个大圆和两个同样大的小圆组合而成的。现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢？
生：小圆的直径是6厘米。
生：大圆的半径是6厘米。
生：大圆的直径是12厘米。
生：小圆的直径相当于大圆的半径。
……
师：看来，只要我们善于观察，善于联系，我们还能获得更多有用的信息。现在让我们重新回到现实生活中来。平静的水面丢进石子，荡起的波纹为什么是一个个圆形？现在，你能从数学的角度简单解释这一现象了吗？
生：我觉得石子投下去的地方就是圆的圆心。
生：石子的力量向四周平均用力，就形成了一个个圆。
生：这里似乎包含着半径处处相等的道理呢。
师：瞧，简单的自然现象中，有时也蕴含着丰富的数学规律呢。至于其他一些现象中又为何会出现圆，当中的原因，就留待同学们课后进一步去调查、去研究了。
师：其实，又何止是大自然对圆情有独钟呢，在我们人类生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。让我们一起来欣赏――
（伴随着优美的音乐，如下的画面一一展现在学生眼前：生活中的圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国节、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计等等。）
师：感觉怎么样？
生：我觉得圆真是太美了！
生：我无法想象生活中如果没有了圆，将会是什么样子。
生：生活中因为有了圆而变得格外多姿多彩。
……
师：而这，不正是圆的魅力所在吗？
［五］
师：西方数学、哲学史上历来有这么种说法，“上帝是按照数学原则创造这个世界的”。对此，我一直无从理解。而现在想来，石子入水后浑然天成的圆形波纹，阳光下肆意绽放的向日葵，天体运行时近似圆形的轨迹，甚至于遥远天际悬挂的那轮明月、朝阳……而所有这一切，给予我们的不正是一种微妙的启示吗？至于古老的东方，圆在我们身上遗留下的印痕又何尝不是深刻而广远的呢。有的说，中国人特别重视中秋、除夕佳节；有人说，中国古典文学喜欢以大团圆作结局；有人说，中国人在表达美好祝愿时最喜欢用上的词汇常常有“圆满”“美满”……而所有这些，难道就和我们今天认识的圆没有任何关联吗？那就让我们从现在起，从今天起，真正走进历史、走进文化、走进民俗、走进圆的美妙世界吧！
●自我反思
多少年来，在孩子们的心目中，在教师们的课堂里，数学一直与定理、法则、记忆、运算、冷峻、机械等联系在一起，难学难教、枯燥乏味一直成为障碍学生数学学习的绊脚石。事实上，造成这一现象的原因是多方面的，而一味注重数学知识的传递、数学技能的训练，漠视数学本身所内涵的鲜活的文化背景，漠视浸润在数学发展演变过程中的人类不断探索、不断发现的精神本质、力量以及数学与人类社会（包括自然的、历史的、人文的）千丝万缕的联系，显然应看成造成这一现象的重要原因之一。
众所周知，数学本质上是一种文化，《数学课程标准》在前言中明确指出：数学的“内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”如何在课程实施过程中践行并彰显数学的文化本性，让文化成为数学课堂的一种自然本色，我立足从过程与凝聚两个角度进行探索。“圆的认识”一课正是我所作的一次粗浅尝试。
数学发展到今天，人们对于她的认识已经历了巨大的变化。如今，与其说数学是一些结论的组合，毋宁说她更是一种过程，一种不断经历尝试、反思、解释、重构的再创造过程。因而对于圆的特征的认识，我并没有沿袭传统的小步子教学，即在亦步亦趋的“师生问答”中展开，而是将诸多细小的认知活动统整在一个综合性、探究性的数学研究活动中，通过学生的自主探索、合作交流、共同分享等，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程。整堂课，“发现与分享”成为真正的主旋律，而知识、能力、方法、情感等恰恰在创造与分享的过程得以自然建构与生成。
在承认“数学是一种过程”的同时，我们也应清晰地意识到，作为人类文化重要组成部分的数学，在经历了漫长的发展过程后，“凝聚”并积淀下了一代代人创造和智慧的结晶，我们有理由向学生展现数学所凝聚的这一切，引领学生通过学习感受数学的博大与精深，领略人类的智慧与文明。藉此，教学伊始，我们选择从最最常见的自然现象引入，引发学生感受圆的神奇魅力；探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，从宏观的视野丰富学生的认识视域；最后，我们更是借助“解释自然中的圆”和“欣赏人文中的圆”等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中层层铺染、不断推进，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉，让数学课堂摆脱原有的习惯思维与阴影，真正美丽起来。
当然，“理想的课程”如何转化为“现实的课程”，这当中仍然有许多值得深切关注的话题。就拿本课教学而言，实施下来，应该说，学生对于“圆”这一冰冷图形背后所蕴含的人文的、文化的特性的感受还是十分真切的，然而，作为问题的另一方面，对于基本的数学知识、数学技能的掌握，在教学后的反馈中也确实暴露出了一定的问题，尤其表现在部分学生对于圆的半径、直径等概念的理解不够到位，对于直径、半径及其与圆之间的关系的掌握不够透彻等。因而，今后我们在数学课堂演绎数学文化、数学精神等层面的同时，如何兼顾知识与技能的教学，如何使我们的课堂活中有实，实中见活，应该还是有一定的启示意义的。
张齐华：“轴对称图形”教学设计
教学目标
1、初步认识轴对称图形，理解轴对称图形的含义，能找出对称图形的对称轴，并能用自己的方法创造出轴对称图形。
2、通过观察、思考和动手操作，培养学生探索与实践能力，发展学生的空间观念。
3、引导学生领略自然世界的美妙与对称世界的神奇，激发学生的数学审美情趣。
教学准备
教师：多媒体教学课件等。
学生：白纸、彩纸、剪刀、颜料、钉子板等学习材料一份。
教学过程
一、“玩”对称，谈话激趣
课前交流：从“玩”这一话题引入，结合师生的撕纸作品，自然引入新课学习，激发学生的兴趣。
二、“识”对称，体悟特征
1． 结合学生的撕纸作品，引导学生进行观察、比较、概括，抽象出这类平面图形的特点。
在此基础上，引导学生结合图形的特征（对折后，折痕两侧完全重叠），师生共同揭示轴对称图形的概念。
2．
从“轴”字出发，引导学生认识轴对称图形的对称轴，并通过说一说、指一指、画一画，深入认识对称轴，体会“对称轴是折痕所在的直线”这一内涵，并再次感受轴对称图形的特征。Code
3． 结合轴对称图形的特征，判断下列图形是否为轴对称图形。
（1） 学生根据经验大胆猜想。
（2） 结合手中的学具，小组合作，共同验证猜想。
（3） 大组进行交流，着重引导学生说清判断的依据。
（4） 引导学生理解一般三角形的“非对称性”及等腰（边）三角形的“对称性”，并由此类推到梯形、平行四边形等。
（5） 根据活动经验，判断如下三个图形的对称轴的条数。
4．判断国旗中的图案是否是轴对称的。
交流时，引导学生说说判断的依据。
5．判断交通标志中的图案是否是轴对称的。
（2） 交流：剩下的图案为什么不是轴对称的。
6．想象：根据给出的轴对称图形的左半边，想象它的另一半，并判断给出的是什么图案。
三、“做”对称，深化体验
引导学生结合轴对称图形的特点，利用师生共同准备的一些素材，自己想办法创造一个轴对称图形。
交流时，着重引导学生说清创作过程，并给予激励性评价。
教师相机进行相关资源的分享。
四、“赏”对称，提升认识
由轴对称图形，进而拓展到现实生活中的轴对称现象。引导学生通过赏析，感受大自然的美妙与神奇，并进一步拓宽学生的视野，受到美的洗礼。
5、《倍数和因数》课堂实录
张齐华
教学过程：
一、认识倍数和因数
师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?
生：1×12
师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？
生：12个，摆了一排。
师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？
生：三四十二
师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？
生齐：2×6
师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。
师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。
师板书：因数和倍数
师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？
师：谁先来？
生说略
师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？
生：12是12的因数，12是12的倍数。
师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？
生：自然数
师：而且谁得除外。
生：0
师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。
3、5、18、20、36
生说略。
二、探索找因数倍数的方法
师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？
生1：3、18
师：还有谁？
生2：36
师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？
生1：1
生2：4
生3：6
师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。
学生填写时师巡视搜集作业。
师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。
A：2、4、13、12、18、36
B：1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。
生1：都对的
师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。
生2：写全了
生大声说：没有！
师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？
生：没有写全，少了3、6、9。
师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？
生：36÷4，只写了4，没写9
师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？
生齐：两个两个找。
生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。
师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。
师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。
生：他应该把4、3调换一下。
师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？
师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？
生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。
师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。
生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。
师：你看你那个舒服吗？
生：舒服
师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？
生：乘法口诀
师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。
师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？
生1：找到开始重复就不找了
生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。
师：体会体会1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。
生：
生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。
师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20
生齐：1、2、4、5、10、20
再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报
师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。
生：21、300
师：你能把3的倍数全部写下来吗？
生：不能。太多太多了。
师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。
学生练习纸上完成，汇报。
师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？
生1：3×1、3×2
师：能理解吗？
生1：3＋3=6、6＋3＝9
师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。
生：略
师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数
学生练习纸上完成：50以内7的倍数。
师：谁来说说这一次你找了哪几个？
生：7、14、21、28
师：为什么不加省略号？
生：因为给了一个限制。
师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？
生：略
三、感受倍数和因数的神奇奥秘
师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？
生1：27
生2：36
师：把你知道的两位数跟同桌说一说。
学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：
18、27、36、45、54、63、72、81
仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？
生：都是9的倍数
师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）
师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。
师：张老师问一个问题，好不好？1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？
生1：1
生2：99
师：还有谁要发表的？
生3：9
师问生2：为什么认为99的因数最多？
生：9是最大的。
师：张老师公布一下答案： 60
师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。
师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的
1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律
师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？
生：1、2、3、6
师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？
学生试这四个数。
师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。
师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？
生：好奇心
师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。
四、教学讲座。
张齐华讲座实录
第一个问题是学习起点的把握；
第二个问题是如何通过教师的引导让学生逐层深入把握慨念的本质的属性；
第三个问题是如何加强数学思考的问题。
我先讲第一个问题，学习起点的把握问题.
大家手中都有一本教材，你肯定思考过，
讲第二点，关于学习起点的问题。
其实，这堂课，一开始，我们有一个设计方案，关于分数孩子们究竟掌握了什么？说实话，我们平时的脑海里都有这么一个印象，孩子们对分数肯定有所了解，生活中到处都能见到分数。但是，据我们调查，从四个不同层次的学校各选择一个班，孩子们对小数、百分数在正式学习之前有过大量的接触的，能够从生活中举出事例来理解或者说出自己朴素的想法，惟独对分数几乎是一无所知。我们学校是南京市最好的学校之一，我在我们学校选了一个最好的班，三年级刚开学的时候做过调查，全班有六个同学听说过分数，其中有三个人能够比较模糊说出二分之一表示把一个东西分两份中的一份，“平均”就根本不用谈了。因此我们就感觉到，好象以前我们对孩子们认识分数的起点还是有所高估的。所以，真正到了上课的时候，我没有引导孩子们怎样结合自己原有的认识去主动地去发现分数，去创造分数，去经历分数产生的过程，而是简单扼要地首先从分东西开始。一个丰富的活动情景——分东西的，在从前面分东西的两个场景中，学生有一些“平均分”的活动经验，于是出现问题情景“把一个蛋糕平均分成两份，每人分得多少？”首先这是一个冲突，因为学生已经没有办法用以前学过的数来表示了。“半个用什么数来表示呢？”老师们已经看到了，大慨有三四个学生举手。其中有一个孩子说出二分之一，另一个孩子说出一分之二，一个孩子说出四分之一，这些的确都是分数，但，对“半个用什么数来表示呢？”后面一段，老师们体会一下，我没有用所谓的探索或者用所谓的发现，而是用一种有意接触的学习，事实上，一开始，我也觉得不太好，尤其是在新课程的背景下。有意接触的学习，说白了就是带有一种告诉，只不过这种告诉是基于学生的活动经验和原有的背景之下的告诉。这种告诉，说起来是乎有点不太冠冕堂皇，事实上后来我们在经过一而再再而三的研讨下，采取怎样的教学方式，并不是为了迎合一种新的学习方式，或者说这个学习方式好，更现代我们就去迎合，不是的。而是更多的去考虑孩子的学习起点，就这个内容本身它的起点是在什么地方？它怎样的起点就制约着我们采取什么样的方式去学习这个内容，既然前面我们发现，最好的小学里面每个班都只有星星点点的几个学生对分数有所了解。那么，针对这种情况，你还有没有必要去换一种方式让孩子去探究，去发现？有意接触又怎么样？再说“二分之一”的读法也好，写法也好，都是人为的东西。我把“二分之一”读作“一分之二”没人说错，对不对？事实上读作“一分之二”也许还更顺口，（读） “一分之二”，对不对？既然它是人为规定的东西，有意接触又怎么样？更节约时间，又提高效率，这是关于学习起点的问题。
第二.讲如何突现概念本质属性的问题。
其实，这一堂课里面，在我个人的感觉而言，这一块，我认为是最得意的地方。后面的巧克力也好、后面的广告词也好，都不是这一堂课最亮的地方。这一块我自认为最该亮的地方，从它的表现形式上来说，它亮不起来，这也是一组矛盾。作为一堂好的课，该怎样去看，我可以从三个角度来讲一下，这一堂课是如何通过一层一层地数学的活动，数学的比较来象剥笋一样把分数这个数学概念它非本质的属性一层一层的剥离，最后留下最本质的属性。老师们可能还有印象，首先是认识蛋糕的二分之一，但是，我们知道仅仅认识蛋糕的二分之一是不够的，因为蛋糕可以表示二分之一，苹果也可以表示二分之一，长方形也可以表示二分之一。如果我们仅仅认识蛋糕的二分之一的话，对于分数的认识他只是处在一个实物的思维层次。因此，我们在认识蛋糕的二分之一之后，拿出一个长方形的纸，“同学们长方形的二分之一该怎样表示？”学生开始表示。学生的不同的折法都能表示长方形的二分之一，为什么？这里面存在一个数学里面的求同的思想。求同存异，它有不同的地方，折法不同，那有没有相同的地方呢？同学们通过思考，他们给出答案，它们都是对折的，都是两份，都是平均分成两份。
老师们，这里面我的目的和意图是什么？我要告诉同学们，一个东西怎样对折无所谓，这不是分数的本质的属性，它的本质的属性是它本身只要是平均分成两份，其中的一份就是它的二分之一。体会一下，与蛋糕的二分之一比，孩子们对二分之一的认识，是不是又提升了一步。这是第一层次的比较。
第二层次的比较是到后面的做分数，学生做完分数后，我拿了三个不同图形的四分之一，老师们体会一下，前面第一层次的比较，是同一图形的不同折法得到的二分之一，把这个分数非本质的属性剥离掉了。第二层次，我要剥离图形不同也没关系，不同图形为什么都可以表示四分之一呢？根据孩子们的经验，他们知道，它们都是把图形平均分成了四份，图形不同是没有关系的，只要平均分成了四份，每一份都是它的四分之一。通过两个层次的比较，至少给同学们留下了这样的印象，要表示几分之一，怎样对折没关系，什么图形没关系，只要把一个东西平均分成若干份，表示这样的一份就是它的几分之一。两个层次的对比之后，孩子们对几分之一的认识一层一层的下来，第三个层次在那？比较分数的大小以后，我用三个圆先比较1/2、1/4、1/8。然后我说同样的圆可以表示分数的大小，那同样大小的正方形、长方形行吗？孩子们说：“行。”为什么呢？因为课前发材料的时候我心里有数，第1、2、3组我发的是同样大小的圆，第4、5、6组发的是同样大小的正方形，第7、8、9组发的是同样大小的长方形。发完以后有的小组在比同样大小的圆，有的小组在比同样大小的正方形，有的小组在比同样大小的长方形。孩子问：“老师，这是为什么？”这可以告诉孩子们比较分数的大小不仅是两个同样大小的圆才能进行，两个同样大小的正方形也行，两个同样大小的长方形也行。这样就可以进行联想两个同样大小的随便什么东西，只要你要有本事找出它的几分之一，它就可以进行分数的比较。这样的话分数大小的比较就不止局限于非常具体的实物，这又进行了一次抽象。两个完全一样的单位一，只要你能表示两个具体的分数，那么它就能进行有效的比较。这三个层次的比较看上去是朴素的，朴实的。但从我当时设计的角度来说，这三个层次的比较是我苦心积虑的。我希望通过这三个层次的比较，而我不认为这三个层次是处在同一个层次上的，它每个层次的比较从数学角度来看它都有一定的内涵。每一层次的比较都在剥离分数某一方面的非本质属性，到最后的时候留下的就是最本质的属性。但今天我不能把它介绍过来，因为这不是这堂课所要涉及的问题。但我想孩子们在初步认识几分之一的时候，如果能通过这层层的活动和比较，对于分数的本质问题有所感悟的话，对孩子以后的分数学习会有很大的帮助。
谈第三个问题，一堂好的数学课，我并不是因为老师们在听课的时候笑了，或是因为孩子们在活动中激动的不得了就认为上的好。我觉得不仅仅是这样，一堂好的数学课的本质是要彰现数学思考，提升学生的思考能力。数学课嘛让孩子变的更智慧、更聪明是比较朴素的方法。举两个小例子，第一个例子是横条，我觉得在这几个练习里面最好的是三个长条的练习，其次是巧克力的练习，然后是蛋糕的练习。我现在谈长条的练习，这里面蕴涵了怎样的思考，我们可以数一下， 首先这里面有个估计意识和估计策略的培养，尤其在1/2里面，孩子的估计结果是不同的，而不同的估计背后所支撑的就是不同的估计策略。这就涉及到有人是蒙的，有人是借助数学推理来进行估计的。老师们都非常明白在数学领域经常要遇到孩子们估计，但你要清醒的认识孩子的估计是在怎样估计，是在蒙的、是凭感觉、还是属于带有一定的推理性。比如说我估计今天在座的老师可能有千把人，我会怎么去估计，我会根据我的经验，这一块好象有四十人，因为我平时上课一个班就这么多学生，我估计下这里面大概有二十来个四十，总共就有千把人。这就是借助于数学推理而展开的估计，这是估计的一种有效策略。但如果只是大概的看一下黑压压的一片，有的孩子答成千上万，你体会一下这成千上万就是一种模糊的感觉。我觉得如果只满足于孩子基本层次的估计的话，那我们数学课堂是无法提升数学思考和数学素养的。那么这里边第二个孩子站起来说：“你是怎么估计的？”他说：“老师，老师，我看第二条里面1/3是这么长，第三条里面这一段正好是上面的一半，一半不就正好平均分成六份吗？第一，这孩子的估计是借助于观察和比较进行的，我要把它及时的表现出来并进行放大，让孩子们知道原来估计不应该仅仅是第一个孩子那种我是看出来的，我是蒙出来的，而是通过一定的策略来估计，这是估计策略和估计意识的培养。再接下来，有一个结构整和的问题，我们都知道数学课堂、数学学习应该有利于孩子提升完整的认识结构，几分之一是新知，我们有句俗语是要把新知的船抛锚在旧知的桩上，那么旧知是什么呢？旧知是自然知识的展示，而唯一与今天几分之一建立有意义的、本质的联系的数是1。因为开始是1，后面是1/3，后面是1/6，然后我们让孩子思考，今天所学的几分之一和前面的认识有联系吗？孩子们通过一段时间的思考觉得是有联系，因为是把1平均分成3份每份是1/3，平均分成6份每份是1/6，1/3和1/6跟1是有联系的。这小小的环节我的意图是帮助孩子把几分之一根据这原有的认识背景当中与整数1之间建立联系，这样新知不会是一个找不到家的孤独的旅客，它应该与已有的知识间建立一种唯一的联系。第三，极限数学思考，这也是数学思考很重要的一个方面，我问了一个很简单的问题“还能继续往下分吗？”再往下的话还可能出现几分之一，不言自明，1/12、1/24、1/48，孩子的回答非常自然。我提出一个问题，“平均分份数的越多表示每一份的分数将怎么样？”孩子们一下就感受出来了，因为有前面直观的知识，在动手操作中的一种感悟，完了以后在加上自己的空间想象，他们就感受出来了，平均的分的份数越多表示每份的分数就越来越少。在比如后面巧克力的练习，这里可以给老师们交代几个问题，当时为了选择生活中的画面联想分数，我找了好多好多的题材。一开始找的是一些很吸引孩子眼球的题材，但是事实上后来我的认识也发生了变化，我觉得好的题材不仅仅是让孩子在课堂上激动起来、振奋起来，而这种激动和振奋知识外在的。好的题材应该让孩子在内心深处感到一种激动。一下巧克力出来，孩子们觉得1/2很好，联想一下每人分得1/2能分给几个人？8个人。然后我一个问题接过来，这不是我想问的问题，我想问是同样的巧克力换一种思考你还能联想到几分之一？孩子们很聪明稍作思考以后，1/4，1/2都蹦出来了。这里面有什么好处，第一层意思同一块巧克力从不同的角度去观察思考获的结论是不一样的，数学里讲究的是求异思维，这是一种渗透。第二、这里面渗透了数学中的一种反比例思想，不知道你们当时有没有听出来。同样一块巧克力每人分得1/8可以分给8个人，每人分的1/4，有个学生说了一句话“只能分给4个人”，然后说每人分的1/2，学生说“哦。只能分给2个人了。”老师们肯定会想这里面不就是种反比例思想吗？同样一块巧克力每份分的越少分得人越多，每份分的越多分得人就越少，这是反比例思想的一种有机的渗透。当然这里面还是和1里面有2个1/2，4个1/4，8个1/8有联系，这些对于后期的学习都是有很大帮助的。但是我觉得刚才这些都不是最重要的，最重要是巧克力这道题它无形无言中的为孩子后来学习单位1作了很好的铺垫。老师们，我问你：“这是一块巧克力吗？”这是一块巧克力。我再问你：“这是8块巧克力吗？”它也是8块巧克力。对不对，后面单位1的学习不是一个整体吗？你瞧，这是多好的整体。它可以说是一块，也可以说是由8块小巧克力组成的一个整体。这为后面孩子们认识8个苹果，我们可以把它看作一个整体作了一个极好铺垫。再说说广告这道题，这道题非常有意思，很多老师也觉得非常有趣。这道题不是因为有1/4，而是后面孩子提出来的1/9和1/8的比例。老师们都听到了这一幕，我就不一一详说了。这里面比较有思考价值的是这个的1/2到底是谁的1/2，这涉及到单位1的转移问题。因为整堂课的单位1都在围绕一个东西在进行，而在这个问题里面单位1由整块蛋糕漂移到了一小块蛋糕。这里还涉及到1/8的1/2，还有1/9，到底是不是1/9，如果不是1/9又该是几分之几，孩子们提出来是1/16，可以看出孩子们的认识是非常深入的。最后讲一个花絮，我在安徽上课的时候，上完以后有好几个老师跑过来和我开玩笑，因为记得前面是一个深圳的老师上观察物体，他是怎么上的？每个学生都准备了一个照相机（数码相机）当时他们觉得深圳人太有钱了，为了这堂课给每个孩子准备了一个相机。当我们江苏人上完以后，他们就说江苏人更了不得为了上这堂课花几十万拍了一个广告。其实这个广告在很多地方多有，四川也有。这就告诉我们，作为一个老师要上好一堂课，一定要作生活中的有心人。这个广告我也在无意中发现的，当时我就想以后我上分数的时候我就可以用上，没想这次我就派上用场了。
下面的老师问：“这堂课超过了40分钟，该把哪些环节处理以下，让它保持在40分钟以内。”
答：因为自己没戴表，手机又没开，因此这是我上这堂课上的最长的一次，上了将近50分钟。现在，我应该反思的是为什么这堂课我上长了，首先这对我是件好事。当然，先撇开伤害了学生的休息时间
五、教学视频。
http://myspace.youku.com/v_show/id_co00XMjYxOTE1Mg==.html认识分数
http://v.youku.com/v_show/id_XMjYxNzMzMg==.html走进圆的世界
http://v.youku.com/v_show/id_XMjYxNzY2MA==.html因数和倍数
张齐华，一个平凡的人，却在短短的教学生涯中创造出了不平凡的成绩。他的“不守规矩”的阅读，造就了他丰富的知识背景、开阔的认识视野和厚实的文化积淀；他的“以内养外”，用综合学养提升课堂教学品质造就了他的灵活自如的课堂驾驭能力。他的课，“质朴中内蕴思想深度、灵动中张显人格魅力”。
他的课堂，无论是他的课堂驾驭能力还是艺术水准，都使我鞭策莫及。他的课清新自然，在从容、幽默的语言中，更多了一份智慧、灵动和诗意。他的引导是那么的恰到好处、他的评价是那么的睿智幽默、他的激励是那么的真诚大方、他的倾诉是那么的诗情画意，美不胜收……他的教学，已不再是刻意牵引，更多的是主张师生的平等对话、学生的个性张扬。更难能可贵，让人感动的是张老师在课中对于数学文化的关注、思考和实践。从“走进圆的世界”中对于数学历史性及数学美的关注，到“美妙的轴对称图形”中对于自然、社会、民俗等众多文化领域的有机涉猎，再到“因数和倍数”中对于数学本身所内涵的魅力、人类不断探索的精神等文化力量的有效开掘。无不将“文化”以一种厚重、开阔、深邃、美丽呈现在小学的数学课堂。
他的讲座，他对课堂捉“虫”的能力和把握问题的本质能力，更使我望尘莫及。他说“一堂好的数学课，并不是因为老师们在听课的时候笑了，或是因为孩子们在活动中激动的不得了就认为上的好。……一堂好的数学课的本质是要彰现数学思考，提升学生的思考能力，这样才能有真正的教育价值。”可是在我们的教师中，有几个能充分体会到其中丰富的内涵？又有几个能做到教育教得有价值呢？
“踌躇满志”
——关于“走进圆的世界”的尝试
为了把握数学文化的内涵，我开始认真阅读大量有关数学文化方面的文献资料，其间，西方数学教育中关于数学文化的论述给了我不小的影响。2003年秋季，适逢笔者参加某大型数学教学研讨活动。以“追寻数学课堂的文化意韵”为意图，我选择以“圆的认识”这一经典数学课例为蓝本，进行了新的探索和尝试。
〔案例1〕“走进圆的世界”及思考
片断一: 师:其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述:“圆，一中同长也。”你能理解其中的意思吗?
生:一中是指一个圆心，同长则是指半径或直径同样长。
师:而中国古代的这一发现，要比西方整整早一千多年。听到这里，同学们感觉如何?
生:特别自豪和骄傲。
生:我觉得我国古代的人民非常有智慧。
师:其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些。《周牌算经》中有这样一个记载，“圆出于方，方出于矩”，是说最初的圆是由正方形不断地切割而来(动画演示渐变过程)。现在，如果告诉你正方形的边长是
生:阴阳太极图。
师:细细看来，阴阳太极原来是由一个大圆和两个同样大的小圆组合而成。现在，如果告诉你小圆的半径是
片断二: 师:其实，又何止是大自然对圆情有独钟，在我们生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。让我们一起来欣赏—
(伴随着优美的音乐，如下的画面一一展现在学生眼前:生活中的圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国 著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国结、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计等等。)
[思考]
研讨活动中，“走进圆的世界”以其鲜明的“数学文化”特色而获得成功。于是，作为反思和总结，我在教学后记中写下这样一段:
“‘走进圆的世界’一课，表达的正是对数学这样一种文化的解读。教学伊始，我们从最常见的自然现象引人，既巧妙渗透了圆的神奇魅力，激发了学生对圆的向往，又无形中渗透了‘大自然本身遵循一定的数学规律’这一西方数学文化的经典思想;探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，从宏观的历史视野丰富学生的认识视域，拓展了学生的精神世界;最后，我们更是借助‘解释自然中的圆’和‘欣赏人文世界中的圆’等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中层层铺染、不断推进，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉，让数学课堂摆脱原有的习惯思维与阴影，真正美丽、动人起来。由此看来，要真正体现数学的文化特性，我们应该对数学的发展史、数学的美以及数学与人类社会各领域的紧密联系予以相当的关注，这些都是体现数学文化的重要因素，是构成数学文化内涵的核心组成部分。”
“峰回路转”
——因“轴对称图形”而引发的思考
2004年10月，在苏州举行的江苏省青年教师数学教学研讨会上，笔者有幸再度执教观摩课。为了彰显一年多来在“数学文化”领域所作的探索，接到任务后，笔者十分自然地对本课教学作出了“充分展现数学文化的魅力”这一定位，并进行了细致的思考。最终将课题定为“轴对称图形”，也是因为这一课例相对而言本身就具备较浓郁的文化要素，对于体现“数学文化”这一主题有一定的优势。
〔案例2〕为了彰显“轴对称图形”的文化内涵，类似地，笔者搜集了大量有关“轴对称图形”的资料，有自然景观、有民间工艺、有商标集锦、有经典图案……应该说，轴对称图形的美感及其文化内涵在这一设计中得到了相当充分的体现。
活动如期举行。如我所愿，本课教学同样获得成功。然而，由于活动本身在于交流、研讨，活动结束后，由此而引发的关于“如何体现数学文化”的讨论、争鸣在更大范围内得以展开，交流也更为深人、深刻。当所有观点交互碰撞、所有争鸣趋于平静后，一种关于“数学文化”的见解浮出水面，并对我原有的观念造成冲击。这里，仅择主要观点，以便论述。
观点1:教学过程过分关注了“轴对称图形”的文化特性，“色彩”太浓，文化味太重，而相应的数学味没有得到应有的体现，数学课堂“着力培养学生的数学思考”这一目标没有得到足够重视，课堂教学呈现出本末倒置的倾向。
观点2:在一般人看来，这节课的最大看点似乎在大量对称图案、标志、建筑的介人以及最后桂林山水和生物对称性的渗透。这些固然很好地体现了轴对称图形的美与和谐，然而，我们以为，本课最为成功也最能充分彰显数学文化魅力的地方不在于此，反而在认识概念后师生围绕“5个图形中哪些是轴对称图形”所展开的那一段精彩的教学对话。粗粗看来，内容朴素无华，似与文化相去甚远，然而细细琢磨，这当中所体现出的对于数学思维的有效关注和巧妙引导，对于数学思维品质及数学思辩能力的培养，以及由思考而带来的智力偷悦，恰恰彰显了更为本质的数学文化魅力。
观点3:文化不是外在的附属品。同样，数学的文化诉求不应从数学之外去找寻。从这一意义上讲，本课对于轴对称图形所作的拓展与升华，固然为本课学习增添了亮色，但却没有涉及数学文化的本质。数学最内在的文化特性应该是数学本身，应该反映数学的个性，体现数学的思维魅力。如果数学课堂使学生真正感受到了思维的快乐，并且因为思维品质的优化和思维能力的提升，而使学习个体的本质力量得到体现，那么，数学的文化张力也就真正得到了彰显。这里，我们同样欣赏师生围绕“5个图形是否为轴对称图形”所作的交流，因为它体现了数学内在的文化力量。
应该说，倘若没有这些评论，我一定会忽略关于“5 个平面图形”的讨论这一环节。至少，我不会将其和“数学文化”联系在一起。于是，为了印证这些评述，我对照光盘，翔实记录下了这段对话。
片断三:
认识轴对称图形的概念后，教师出示如下5个平面图形:
师:观察这些平面图形，你觉得哪些是轴对称图形，哪些不是?
生1:我觉得五边形和圆是轴对称图形，其他都不是。
生2:我认为这5个图形都是轴对称图形。
生3:我觉得第一个和第三个不是，其余都是……
师:同学们就这一问题发表了不同见解。那究竟该听谁的?
生4:动手试一试吧。
师:对呀。当意见出现分歧时，不如亲自动手试一试，用事实来说话! (学生拿出这5个图形动手操作、验证。)
师:动手实验后，大家对这一问题一定有了更加深入的认识。谁来说说?
生5:一开始，我以为这个三角形是轴对称图形，现在我认为它不是了。因为把三角形对折后，发现两边没有完全重合，所以它不是轴对称图形。
生6:我想说这个平行四边形。原以为它是轴对称图形，可是把它对折后，我才发现它并不是。
生7:老师，我不同意他(生6)的观点。我也把平行四边形对折，它是一个轴对称图形。
师:关于平行四边形，出现了两种截然不同的观点。(教师统计全班的观点)两种观点势均力敌，那就用事实来说话吧。正方先亮出你们的观点。
生8:我把这个平行四边形对折后，发现两边是两个完全一样的梯形，所以我们认为它是一个轴对称图形。
生9:我们反对。虽然对折后两边大小一样，但并没有完全重合，你看，这边多出了一些，而那边又少了一些，不符合轴对称图形的定义。
师:嗯，抓住轴对称图形的特点进行分析。
生10:我反对。虽然对折后两边没有完全重合，但只要我们沿着折痕剪开，换一个方向后两边就能完全重合了，所以我们认为它是一个轴对称图形。
生9:可是，黑板上写得清清楚楚，只有对折后两边完全重合，才算是轴对称图形。剪开后两边重合是不算的。
生11:(补充)不然，黑板上应该写“对折剪开后两边完全重合”了。
生12:再说，如果剪开的话，原来图形的特点已经被破坏了，最多只能说现在的图形是轴对称图形而已。
师:在这么多事实面前，你们(另一方)还有什么想 说的吗?
生8:我也同意它不是轴对称图形了。(这时，他的同桌又将手高高举起。)
生13:我还有补充。如果平行四边形的四条边长度一样，变成一个菱形的话，那它就是一个轴对称图形。 (面对他突如其来的补充，笔者也颇感意外，并临时剪了一个菱形。)
师:请你给大家说说，为什么它是一个轴对称图形。
生13:(边折边说)把它对折后，两边完全重合，所以它是一个轴对称图形。
师:你的发现告诉了我们，也许一般的平行四边形不是轴对称图形，但有些特殊的平行四边形却是轴对称图形，比如菱形。
生14:我觉得还有长方形和正方形，它们对折后也能完全重合。
生15:既然这样，我觉得屏幕上这个三角形虽不是轴对称图形，但有些特殊的三角形却是的，比如等腰三角形和等边三角形。
(教师给出这两种三角形，引导学生上台操作)
师:能从平行四边形自觉联想到三角形，这是多么有益的一种学习方法啊!
生10:我想说这个正五边形。通过对折，我发现它是一个轴对称图形，但如果它不是正五边形，那它就不是了。
(正在这时，笔者发现有位学生画了这么一个五边形 ，教师顺势拿起这个图形，放在实物展台上。)
师:瞧，这位同学画了这样一个五边形，想象一下，它是轴对称图形吗?(是！)看来，除了正五边形外，有些特殊的五边形同样也是轴对称图形。
生17:我认为圆是一个轴对称图形，因为把它对折后两边能完全重合。而且圆的直径就是它的对称轴。
师:能和圆的其他知识联系起来进行思考，真不错。不过，准确地说，直径所在的直线才是圆的对称轴，你们说是吗?(是。)
生18:我还想补充，不管什么圆，它都是轴对称图形。
师:你的补充很有见地。讨论平行四边形、梯形、三角形时，我们既要考虑一般的情况，又要考虑特殊的情形。但圆就不同，所有的圆都是轴对称图形，不存在什么特殊的情况。看来，数学学习中，具体的问题还真得具体对待。你的补充让我们的思考又向前迈进了一步!
[思考]
透过朴实无华的教学实录本身，我们发现，短短的教学时空里，学生不仅对“5个平面图形中哪些是轴对称图形，哪些不是”这一问题获得了清晰、深刻的认识，更由此引申开去，在对话和思辩中获得了对一般和特殊的辩证思考，对直觉猜测与实践验证复杂统一性的深刻体会，对思维全面性和深刻性的丰富体验等。特定的时空里，学生的思维始终处于积极活跃的状态，他们尽享因数学思考而带给他们的思维的确定性、变通性、灵活性、辩证性。数学的真理感、数学思考的内在美、数学丰富的思维方式等，正是在这样一种润物无声的对话和思辩过程中悄悄滋润着学生心灵，化作学生思考的力量源泉。
清楚地记得，当执教完“走进圆的世界”一课后，有人提出，“虽然这节课的文化味体现得很充分，但普通的数学课，比如计算，比如应用题，再比如一般的概念教学，如何体现数学的文化特性?”那一刻，我无以答复。如今想来，当时的无言以对，背后折射出的恰恰是自己对数学文化片面、狭隘的理解。
的确，文化不是外在附属品。数学文化也不是简单意义上的“数学十文化”。在关注数学历史性和数学美的同时，我们更应该对数学文化有一种更为家常的朴素理解:文化者，以文化人也。数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗。从这一意义上讲，数学文化又怎会仅属于“圆”和“轴对称图形”?任何数学课堂.我们都可以触摸到数学文化的脉搏，因为，拥有思考，便拥有了数学的文化力量。
“柳暗花明”
——“因数和倍数”一课及其他
为了使新的思考转化为现实的课堂实践，2005年春，我又开始了新的关于数学文化的探索。这次选择的是一节普通的数学概念课—“因数和倍数”，没有图形的直观和具象，也没有丰富、直接的现实背景作支撑，一切从朴素中开始。限于篇幅，此处只呈现当时的教学预案。
[案例3]“因数和倍数”预案及思考
活动1:巧用模型，建构意义
教师出示12个完全相同的小正方形，引导学生在头脑中将它们摆成一个长方形，并试着用乘法算式将相应的摆法有序地表示出来。
在此基础上，师生共同建构因数和倍数的意义。在此基础上，结合具体内容，引导学生感受因数和倍数的相互依存性和辩证关系，发展学生的数学思考。
活动2:自主探究，提升思考
明确概念内涵后，教师引导学生自主研究“36的因数”和“3的倍数”。考虑到学生在认知背景、思维品质及思维方式上的差异，学生中势必会出现不一样的思考过程和结果。此时，教师应该引导学生将自己的数学思考展示出来，在师生之间多维地对话、思辩、质疑、争论的过程中，彼此取长补短，相互吸纳。
活动3:激化冲突，活化思维
引导学生分别思考:在1-10这些自然数中，哪些数一定是20、口4和口口这些两位数的因数。
开放而充满智力挑战的问题情境，学生在认知冲突中展开思维，寻求结论，并在思维和对话中使自身的认识从粗放走向细腻和深刻，相应的数学知识也在交流中得以有效渗透。
活动4:探寻规律，感受奥秘教师引导学生利用9颗珠子，在计数器上分别拨出不同的两位数。并引导他们观察并思考，这些数和9 之间有没有什么特殊的联系?在此基础上，再自然引导学生展开联想、猜测:8颗、7颗,6颗……珠子拨出的两位数，会不会也是8,7,6……的倍数。由此，开放而充满召唤的问题情境，丰富而多变的数学规律，使原本枯燥、乏味的数字绽放神奇的力量。
活动5:内部拓展，彰显魅力
先引导学生猜一猜100以内的自然数中谁的因数最多。当最终的结果“60”出人意料地展现在学生面前时，教师再适时介绍((数字王国—世界共通的语言)一书中关于“时分秒进率为
接着，再引领学生走进和因数有着密切关联的另一特殊数学现象:“完美数”，在认一认、找一找、比一比的过程中，引导学生感受完美数的美妙结构，体会数学家对于完美数的无穷探究兴趣(前100亿个自然数中，只找到6个完美数，需要数学家们付出怎样的执着和艰辛)，间接体验数学的内在魅力，以及数学家孜孜以求、不断超越的数学探索精神。
活动6:沟通联系，丰富内涵从两千多年前古希腊人最初从因数、倍数角度研究音乐，到希腊建筑中大量倍数关系的存在与其雄伟、牢固、美观之间的内在联系。在此基础上，再从“数论” 的角度重新关照“因数和倍数”，使新的知识在深度和高度上获得提升。
很难说这是一次成功的探索，或者说它已经体现了数学文化之真义。但有两点是可以肯定的。其一，摆脱“空间和图形”领域，将探索触角伸向“数与代数”， 选择枯燥的“因数和倍数”这一内容，本身反映的便是一种求真、务实的研究态度，一种对各类型数学课堂中如何体现数学文化问题的自觉追求。其二，在思考和研究这一课时，能自觉跳出“数学十文化”的窠臼，从更为开阔、全面、辩证的视角理解并构建数学文化课堂。尤其是从以往对数学历史资料的简单引人，到本课全面关注学生数学思考的提升、数学思维方式的培养，关注数学精神品质的有机渗透等(这些在教学预案中均有描述)。
如今，细细想来，数学不只是知识和方法的简单汇聚，它应该是一个开放的文化体系，是人类智慧和创造力的结晶。它在给予我们知识与方法的同时，更以一种文化的姿态改变人类的思考品质，拓展人类的视野，丰富人类的精神世界，增进人的本质力量。数学的文化特征不仅仅只在于数学的历史性和美学价值，凝聚在数学之中的美妙绝伦的数学思维方法、探索不止的数学精神、求真臻善达美的数学品格，对于一个人全面和谐的发展，都具有极为重要的意义。可以说，数学是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我们在承认和弘扬数学工具价值的同时，更应该看到它的文化价值，并借助日常的数学教育实践，使其外化为一种现实的数学影响，努力彰显数学的文化品性，真正使数学学习成为学生获得知识、形成方法、感悟价值、提升精神的生命历程。
我想，
