在反思与追问中生成新的智慧
——对传统名题“鸡兔同笼”的一次深度开发尝试
选题：在争议中坚持
前不久，我们县教育学会组织了一次“小学数学教研精品展示活动”，邀请北京的李烈、华应龙，南京的阎勤、余颖、贲友林、张齐华等名师来我县讲学，同时我县也提供两节研究课，其中一节课的任务就交给了我。根据各位名师提供的课题，组委会考虑整个活动的课型与学段的分布，要求我上一节高年级的数学复习课或者活动课。我花了近一周的时间斟酌选题，最终我选择了六年级数学活动课：鸡兔同笼问题。当我提出选题时，却遭到了大家的一致否定，概括起来就是三个核心问题：第一、人人学有用的数学，鸡兔同笼问题“有用”吗？第二、数学活动课，鸡兔同笼问题能让孩子们“动起来”吗？第三、除了教学假设法，鸡兔同笼问题还能上出什么“新意”？
针对这三个问题，我开始了自己的思考：
●鸡兔同笼问题“有用”吗？
学习“有用的数学”是课程标准的基本理念之一，怎样理解“有用的数学”，对于改善课堂教学具有重要意义。人们认为鸡兔同笼问题没有价值，大概是觉得这种问题情境在我们的生活中很少存在。数学必须与生活相联系，但数学的生活化并不等同于生活。我们理解“有用的数学”，应避免功利主义、实用主义。数学本身具有高度抽象、简化的特点，从某种意义上讲数学不摆脱研究对象的“外壳”，不从现实中抽象出来就不会有今天的数学。我们强调数学走进生活的目的是为了帮助孩子理解数学，并体验数学的价值、形成正确的数学观。鸡兔同笼问题的现实意义在哪里？如果你仅仅把它当作鸡和兔同笼来理解，也许真会觉得它毫无价值，但是如果你把它当作一个典型问题，当作一个类似于模型的东西来审视，你就会发现生活中还真有不少问题都类似这个“模型”，譬如：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？这不就是一个生活中的“鸡兔”同笼问题吗？如果你把“鸡兔同笼”当作一个模型来理解，它就具有了现实意义，它就是“有用的数学”！
●鸡兔同笼问题能让孩子“动起来”吗？
数学活动应该让孩子“动起来”，但是“动”不一定就是外显的动作。数学活动包括外显的动作，但更重要的是内隐的思维活动，让思维动起来比形式上的“动”更重要！前苏联著名教育家托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）。”学生数学学习中的活动更多是指智力活动，它的一个重要目标就是发展学生的思维能力，开发智力。我觉得活动课可以是“安安静静”的活动课，因为“数学活动归根到底应该是思维的活动”！课改之后，热热闹闹的课多了，安安静静的课少了。数学课堂缺少学生静静的思考，缺少学生内心的独自省悟，缺少学生对数学问题的静思与顿悟，甚至老师都不敢让学生静静地做作业，静静地长时间思考。其实热闹的课堂并不一定是真正的活跃，安静的课堂中也可能有活跃的思维，静静地思考更是一种激烈的思维活动过程，它的丰富内涵，足以让每一个孩子收获颇丰。鸡兔同笼问题应该可以让孩子 “动起来”，让孩子的“思维动起来”！我就想上一节“安静”的活动课，表面可能是安静的，但是那里却有着“静悄悄的革命”！！所谓“静能生慧”，当我们的课堂能让学生静静地思考数学问题，这样的课堂才可能真正发挥它的育人功能。
●鸡兔同笼问题能上出什么“新意”？
大家都了解鸡兔同笼问题，甚至不少老师都教过这个内容：多数老师是在三、四年级用它给孩子们讲假设法；特级教师徐斌曾尝试在二年级教鸡兔同笼问题，用它讲画示意图解题；在中学里，老师则用它来讲二元一次方程组。同一个载体鸡兔同笼问题，不同的老师，在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材你可以赋予它不同的使命，这也许就是大家常挂在嘴边的“用教材教”。鸡兔同笼问题这个题材只是我们教学的基本凭借，而不是唯一。我们应该以它为抓手，主动寻求适合学生特点的一切有利于教学的因素，充分调动学生的学习积极性，培养学生自主学习的习惯。我们钻研教材，除了研究教材所蕴含的知识，更要深入地了解知识的来源及其背景。研究的目的除了找出重点、难点和关键，更重要的是挖掘数学知识中的数学思想方法，为寻找适合的教法提供依据。以此为依据，我在小学高年级教学这一内容，应该可以教出不同的重点，上出我的“新意”。我能留给孩子些什么呢？我想到了解题策略、数学模型、数学文化……
澄清了对这三个问题的认识，我果断地选择了坚持：有挑战才有突破！
设计：在追问中完善
活动主题：
追问“鸡兔同笼”
目标预设：
1、在掌握基本解法的基础上，比较和梳理各种解法的特点。
2、数形结合，渗透数学建模的思想。
3、应用鸡兔同笼问题的解题策略解决简单的实际问题，促进模型的进一步内化。
4、渗透数学文化，关注学生的探究精神等情意目标的达成。
活动预设：
一、梳理解法
1、自主探索：让学生自己去尝试：从“会做”到“会用不同的方法做”。
2、比较梳理：交流解法，教师作适当补充，梳理各种解法的特点。
3、资料介绍：补充一些关于鸡兔同笼问题的资料。
二、建构模型
1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”，再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。
2、首次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
3、游戏建模：猜硬币游戏，利用2分、5分的硬币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。
三、拓展应用
1、再次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
2、应用模型：利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。
3、自主设计：创设生活情境，引导学生自主设计类似的问题。
四、反思小结
1、深度追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
2、总结延伸：完善板书，小结全课，注重学法指导，引领孩子学会反思和追问。
在设计和构架整个活动的过程中，涉及到一些具体问题，让我不得不思考：
●怎样面对孩子算法的多样化？
数学是一种客观存在，但孩子的认知方式却不是千篇一律的，每个孩子都可能有自己个性化的“发现问题、提出问题、解决问题”的策略。在教学中应该以“发散——聚合”的辩证观点，正确处理好“个性与共性”、“多样与统一”的关系，力求既放得开，又收得拢。面对孩子探索中出现的多样化的算法，具体情况具体分析：基于不同认知角度的多样化，要认可；基于群体的多样化，要深化；基于个体的多样化，要优化。我设计的第一个教学环节就是让孩子们在独立尝试的基础上交流自己的解法，面对孩子多样化的解法，我该怎么办呢？设计中，我引导孩子通过交流促进算法的多样化，但算法的多样化只是个过程目标，而不是最终目的。多样化的最终目的是为了优化，为了帮助孩子梳理各种解法的特点，学会灵活地选用恰当的解法，从而在优化中深化认识。叶澜教授说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生的发展。”让孩子从小学会“多中择优，择优而用”，这种思想方法也正是为孩子综合素质的全面发展服务的。
●怎样帮助孩子建构简单的数学模型？
数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实问题转化为数学模型，是对学生解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务之一。数学建模教学通俗地讲，就是指在课堂内外增加一些有生活背景的实际问题，并通过这些实际问题让学生领悟数学工作者是怎样“发现、提出、抽象、简化、解决、处理”问题的整个思维过程。新课标明确提出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这节课的设计中，我先设计了从“鸡兔”、 “龟鹤”到“人狗”的过程，作出初步的事物对象的提炼，然后通过猜硬币的游戏突出数量差异的变化，从而提炼出简单的问题模型。最后，将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。整个过程中将 “数形结合”作为帮助孩子建构模型的重要策略。
●怎样让数学变得更丰富多彩？
在不少人的感觉中，数学似乎总是枯燥的、单调的，其实这是对数学的一种偏见。将数学等同于数学知识、工具和技巧的认识是片面的，它们只是将数学的内涵剥落后的产物。数学不仅是一种思想方法、一种技术手段，它更是一门艺术，是一种文化。大自然中的数学情趣、艺术家的数学美感、科技中的数学威力……你都感受过吗？数学以特有的形式美、结构美、方法美的独特魅力泽被天下，它是人类智慧的不竭源泉。数学是真、善、美的统一体，它就像一棵富有生命力的智慧树，随着人类社会的兴衰而荣枯。数学教育除了提供给学生知识、工具和技巧以外，更应重视发展学生的理智情感和文化意识，提升人格素养。怎样在我们的数学教学中更多地展示数学的多彩、丰富与鲜活？在这节课的设计中我也作了不少的努力：通过介绍古今中外不同时空背景映衬下的有趣资料，让课堂洋溢着文化的气息；通过对现实生活的适度夸张变形，变出了五条腿的“怪兔”，增强了数学学习的趣味性；广采各种场合的生活素材，让数学更直观、更生动……
教学：在对话中生成
教学现场
一、梳理解法
师：通过刚才短暂的交流，我发现咱们班的同学特别聪明。下面就让我们向在座的各位老师展示一下你们的智慧！
师：请看大屏幕：
（课件出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问：鸡有几只？兔有几只？ ）
师：这是一道什么问题？
生：（齐答）鸡兔同笼。
师：对，不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们继续来研究它。 【板书课题：鸡兔同笼】
师：题目你能读懂吗？
生：能。
师：告诉了我们哪些已知条件？
生1：共有八个头，二十二只脚。
（师点点头）
生2：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。
师：很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！
师：会做吗？
生：（齐答）会。
师：下面就请大家自己先试一试。
（学生试做，老师相机指点，并选择学生的一些典型解法，全班交流。）
（说明：开课简洁明快，引导学生“读懂”题意，挖掘隐含条件，以“领悟”代替 “分析”。放手让学生独立解决问题，暗含对解题策略个性化、多元化的期待。）
师：现在我们看看这位同学做的。
（实物投影仪显示：学生作业①）
（22—8×2）÷(4-2)=3（只）
8-3=5（只）
答：鸡有5只，兔有3只。
师：说说你是怎么想的？
生：我先假设全是鸡就有16只脚，而现在有22只脚，还少6只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少6只脚，就说明有3只兔子，还有5只鸡。
师：不但会做，而且讲得很清楚！再看看这位同学做的，这和刚才的解法联系吗？
（实物投影仪显示：学生作业②）
（8×4－22）÷（4－2）=5（只）
8－5=3（只）
答：鸡有5只，兔有3只。
生：都是假设的，刚才假设的全是鸡，而这现在假设的全是兔。
师：谁能说说他又是怎么想的？
（实物投影仪显示：学生作业③）
解：设兔有X只，则鸡有（8－X）只。
4X +2×（8－X）=22
X=3
8－X=5
答：鸡有5只，兔有3只。
生：他用的是方程解法，4X代表兔的脚数，2×（8－X）代表鸡的脚数，加起来就应该是一共的脚数22只。
师：对！方程和算术方法都是很重要的解题方法。
师：这里还有一种解法，谁做的？给大家讲讲你的思路。
（实物投影仪显示：学生作业④）
解：设鸡有X只，则兔有Y只。
2X+4Y=22
X=0，Y=8 32 ×
X=1，Y=7 30 ×
X=2，Y=6 28 ×
X=3，Y=5 26 ×
X=4，Y=4 24 ×
X=5，Y=3 22 √
答：鸡有5只，兔有3只。
生：我用的是不定方程的解法，后来解的过程我就是这样依次凑的……
师：大部分同学可能没接触过不定方程，不过老师课前曾问过一个一年级的小朋友，他给出的方法和这种不定方程很类似，看看他是怎么做的？
（课件出示：
鸡的只数 兔的只数 腿的总数
0 8 32
1 7 30
2 6 28
3 5 26
4 4 24
5 3 22 ）
生：他是用列举的方法凑的，他的这种方法和不定方程的解法其实就是同一个意思。
师：凑也是一种方法，像他们这样有序地凑就是一种列举，我们可以称它叫列举法。课前老师还问过一个二年级的同学，他也会做这道题，想知道他是怎么做的吗？他是这样做的——
（课件动态出示）
师：（配合课件解说）先画出8个小圆圈就代表8只小动物，假设全是鸡每只有两只脚，这样就先画16只脚，而题目中说共有22只脚，还少6只脚，于是我们就把其中的三只鸡“改装”成兔（如上图），这样就有22只脚了。
师：看懂了吗？刚才我们讲到了算术方法、方程解法还有列举法，现在你能给这种方法也取个名字吗？
生1：既然是把鸡变成兔那就叫鸡变兔法吧。
（听课老师和其他同学都笑起来了。）
生2：一开始假设全是鸡，而兔子的脚是后来添上去的，咱们就叫它添脚法吧。
生3：我觉得应该叫做作图法。
师：大家的说法都有道理，有的是从形式上看的，有的是从内涵上分析的，咱们就称它叫作图法吧。作图也可以成为一种解题的方法，现在我们长大了，懂的知识多了，这些很直观的解题方法反而容易被我们给忽视了，其实解题并不仅仅是计算！
（说明：有选择地让学生交流几种典型的解法，是对独立尝试解题过程的适度敛收，是对教学进程中动态生成的教学资源的甄别与有效利用。学生在自主探索后进行交流汇报，一方面拓宽了思路，加深了理解，另一方面也促使个性化的解题策略得到完善与修正。教者有选择地呈现学生的不同解题策略以及适当的点拨和精当的补充，凸显了教师在教学活动中组织者、指导者、参与者的角色定位。）
师：一上课大家就说会解答这类问题，现在我们又学会用不同的方法来解答，会的水平不一样了！数学学习讲究的就是深入，如果就此打住那我们今天的探索还是不够深入。比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？
（课件出示：几种不同的方法）
生1：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。
生2：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。
生3：我喜欢算术方法，能训练我们的思维，算术方法和画图的方法其实是同一个意思。
师：（故作疑惑状） 它们怎么会是同一个意思？！
生：这个图里面的添脚法，其实就是算术方法的思路，都是假设的，只是表示的方法不同。
师：大家同意他的说法吗？在他的发言中隐含了一个很重要的数学思想——数形结合。 【板书：数形结合】
生4：数字小，我就选作图法，列举法；数字大，我就选算术方法或者方程。
师：（开个玩笑 ）你怎么这么“不专一”呀？
生4：数值小，用列举、画图方便；数值较大时，就不方便了，只能用算术方法或者方程。
师：看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，我们应该根据需要灵活地选用。
（说明：通过对几种典型解法的梳理、分析、比较，使学生在掌握不同解法的同时，能懂得这些解法之间的区别和联系，逐步在方法多元的基础上找到自我优化的生发点。）
师：不但我们在研究鸡兔同笼问题，早在1500年前，我国古代的数学著作《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼问题，并给出了一种很有意思的计算方法：
（课件出示：脚数÷2－头数＝兔数 头数－兔数＝鸡数）
师：咱们用这种方法口算一下上面那道题，结果和我们刚才算的一样吗？
（上面的题目可以列式为：22÷2－8=3 8－3=5）
师：谁能说说这种算法的道理？
（生举手回答，但说不清楚。）
师：你们想明白了，就是说不清楚，对吗？其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，外国人对它也有关注，在匈牙利出生的美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。
（课件动态演示，老师相机解说）
师：有一天鸡和兔在草地上玩，鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子也将两条前腿提起来。这时草地上的总脚数是不是只剩下原来的一半了？22÷2＝11（只）这时草地上的脚数是不是还比鸡兔的总只数多一些呢？11－8=3（只）为什么会多？不就是因为每只兔子有两只脚吗？这样总共多了几只脚就有几只兔子，3÷（2－1）=3（只）而剩下的就是鸡了。8－3＝5（只）
师：看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领——“奇思妙想”!【板书：奇思妙想】
（说明：《孙子算经》中给出的独特解法以及波利亚对这一解法“奇思妙想”的解释，进一步拓宽了学生的视野，同时又让学生浸染在中外数学文化交融的氛围里，使数学课堂也沐浴着人文的气息，数学思维不仅有理性的深邃，也有感性的快乐。）
二、建构模型
师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。
（课件演示：龟鹤的图片）
师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。
师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？
生1：鸭猫问题。
（大家都笑起来）
生2：猪鹅问题。
生3：马鹰问题。
……
师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！
【板书：给鸡兔加上红色“”号 】
师：这儿有一首民谣，我们一起来读一读：
（课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。
数头一共是十二，数脚一共四十二。 ）
师：读了这则民谣，你有没有什么话想说?
生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。
师：（追问）不对吧？这里是人和狗？
生：这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。
（笑声一片）
师：你说的是这个意思吗？
（课件出示：猎人————鸡 两条腿
狗————兔 四条腿 ）
师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。
（学生练习，老师巡视指导）
师：算出来了？
生：3个猎人，9只狗。
师：到底对不对呢？我们可以带进原题当中去验算一下。
（学生检验，确认结果正确）
师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡兔”同笼其实只是这类问题一个模型！ 【板书：模型】
师：听说过“模型”这个词吗？
生：听说过。
师：你们在哪儿听说过？
生：我们都玩过飞机模型，坦克模型……
师：那你给大家介绍一下，什么叫做飞机模型？
生：飞机模型就是假飞机，不是真的。
师：（随手拿起黑板擦）这是飞机模型吗？
生：（有些着急）虽然不是真飞机可是样子要像飞机呀！！
师：说得好！虽然不是真飞机，但是得具备飞机的基本构造的“假飞机”，我们就称它叫飞机模型。
（说明：通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，开始初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。龟鹤问题的介绍和民谣的朗读使课堂的文化气息更浓，课堂又增添了几分鲜活。）
师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
（学生陷入沉思之中……）
师：有些同学好像已经有了自己的想法，更多的同学还在思考，接下来咱们先做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。
师：（出示一个信封）储老师这儿有一个信封，谁能猜出信封里放的是什么吗？
生1：邮票。
生2：钱。
师：猜得真准，这信封里装的就是钱，放了5分和2分的硬币，共7枚，你能猜出信封里的硬币一共有多少钱吗？ 【板书：2 分、5分、共7枚】
（学生觉得有困难，面露难色。）
师：咱们降低些难度，你能猜出大致的范围吗？
生：我觉得应该在一角四分到三角五分之间。
师：（故作惊讶）就在这个范围内！你是怎么猜的？
生：假设这些硬币全是二分，七枚就是一角四分，假设全是五分的，七枚就是三角五分。
（大家都会意地点点头）
师：信封里一共放了二角九分钱，你们能猜出信封里放了几枚2分硬币，几枚5分硬币吗？ 【板书：共二角九分、？枚、？枚】
（学生思索着，有同学举手了，还有的想用笔算……）
师：有同学已经猜出来了，还有同学想用笔算，那你就用笔算一算。这位同学“猜”得最快，说说你是怎么“猜”的？
生：假设全是二分的就是一角四分，而现在有二角九分，还多一角五分，我们就把二分的换成五分的，每换一个就多三分，这样就要换5个五分的，还剩两个二分的。
师：你是这个意思吗？
（课件动态演示：换硬币的过程）
师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？
生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的二分硬币就相当于鸡有两只脚，而五分的硬币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！
师：（故作神秘状）是这个意思？
（课件动态演示：将二分硬币换成鸡，将五分硬币换成五只脚的“怪兔”）
（大家一看“怪兔”的模样，都乐了）
师：我们也学会“奇思妙想”了，终于把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。即使再出现3只脚的鸡，我们也不会觉得奇怪了，又进一步逼近了问题的本质！
（说明：“猜硬币”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的策略把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象。将学生在前一个教学环节中初步建构起的数学模型作进一步的提炼。帮助学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。）
三、拓展应用
师：刚才我就问大家，生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？现在大家觉得有吗？
（有的学生还在思考，还有的则若有所悟地点点头。）
师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看……
【板书：生活】
（课件出示图片：1、乒乓球赛2、儿童公园3、童话世界4、文峰商场5、校园一角）
师：想先到哪里去看一看呢？
生：（好多同学齐呼）乒乓球赛。
师：这是谁呀？
生：（齐答）孔令辉
师：对，乒乓名将孔令辉，在乒乓球比赛中有没有类似咱们今天研究的问题呢？先请大家自己读一读。
（课件出示：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？）
师：题目告诉我们哪些条件？
生：它告诉我们共有12张球台，34人在进行比赛，单打就是2人打，双打就是4个人打。
师：真厉害！一下子将两个隐含着的条件也挖出来了，共四个条件。这和我们今天探索的问题有联系吗？
生：差不多，单打就可以看成鸡有两只脚，双打就可以看成兔有4只脚，12张球台就是共有12只动物，34人就是共有34只脚，问有几桌单打就是有几只鸡，有几桌双打就是有几只兔子。
（下面的同学都听得直乐）
师：同意他的意见吗？这时问题就转化成这样：
（课件出示：鸡2脚，兔4脚，共12头，34脚，问：鸡？只，兔？只。）
师：会做吗？用你喜欢的方法自己去试一试。
（学生练习，教师巡视指导。）
师：算出来了？
生：有7只鸡，就是有7桌单打；有5只兔子，就是有5桌在双打。
师：谁来介绍一下你用的是什么方法？（你为什么选用这种解法？）
生1：我用的是画图的方法，因为它的数字比较小用画图的方法既直观又方便。
生2：我用的是算术方法，这种方法好，什么时候都能用。
师3：（补充）应该说算术方法具有一般性。
……
师：接下来我们再到哪里去看一看？
生：经典童话
师：请大家先自己读一读。
（课件出示：小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采集蘑菇88个。求晴天有多少天？雨天呢？）
（学生读题）
师：读懂了吗？同桌先交流一下。
（同桌相互讨论。）
师：这还是鸡兔同笼问题吗？
生：这其实还是一个鸡兔同笼问题，也就是说：一种怪鸡有12只脚，一种怪兔有20只脚，一共有6个头，88只脚，问：怪鸡有几只？怪兔有几只？
师：经过我们的奇思妙想，这个问题也转化成了一道鸡兔同笼问题。
（课件出示：怪鸡12脚，怪兔20脚，共6头，88脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）
师：会做吗？这道题就不要求大家解答了。接下来我们再到哪里去看一看？
生：公园
师：行，就到公园去玩玩。
（课件出示：刘老师带着41名队员去海陵公园划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？）
师：自己先试一试，行吗？
（学生练习，不久就有学生举手了……）
生：老师，不好做！
师: （疑惑）为什么？
生：大船坐的人数是双数，小船坐的人数也是双数，怎么可能恰好坐满是41人呢？
师：对呀，怎么回事儿？
生：（其他学生，马上接上来）还有老师呢！！
（提问的学生，恍然大悟，坐下。）
师：看来咱们还是要注意审题，要善于挖掘隐含着的条件！
（汇报交流略）
师：最后我们再来看看，这是哪里？
（课件出示图片：校园一角）
生：我们学校。
师：对，这是我们美丽的校园，在我们的校园里会不会也有类似咱们今天研究的这类问题呢？
生：（不假思索）有。
师：口说无凭，下面就请大家仿照刚才的结构自己设计一道发生在我们校园里的“鸡兔”同笼问题。
（学生设计，老师巡视并相机指导。交流部分学生设计的问题：如：中秋月饼会带月饼，小卖部买东西……）
师：下面大家可以把自己设计的问题让你的同桌去试一试。
（学生练习，互相评议）
（说明：利用多媒体平台互动选择的功能，设计了开放的应用情境，“乒乓球赛”、“公园游玩”、“童话世界”等都很贴近学生的生活，学生在不同的生活场境中应用模型解决实际问题，既可使学生在实践中领悟数学建模的价值，又能增强学生数学应用的意识与能力。最后学生自己动手设计问题，既是对本课教学的综合“反刍”，又旨在引导学生用“数学的眼睛”去看世界、看生活。）
四、反思小结
师：有一个问题我们一直都在思考，现在我们再来看一看：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
生：（异口同声）有。
师：真的有吗？
生：（高呼）有!!
师：同学们，一上课大家就说会解决鸡兔同笼问题，后来我们又学会灵活地选用适当的方法来解决这类问题，现在我们又能用解决这类问题的方法来解决我们生活中的问题，会的水平是越来越高了！其实我们的数学学习就应该是这样的——在不断的反思与追问中逐渐深入……
（课件出示：在反思与追问中生成新的智慧……）
师：让我们在自己的心中把这句话默默地说一遍，下课。
（说明：“数学学习就应该是这样的——在不断的反思与追问中逐渐深入……”既是对本课学习活动的概括，同时又启迪学生感悟：深入思考的意识、不断追问的习惯、奇思妙想的胆识等在数学学习中的意义与价值。）
板书设计
“鸡兔”同笼
数形结合 二分 ？枚 7枚
模型——————生活 硬币 共
奇思妙想 五分 ？枚 2角9分
（说明：左边提炼出了本课主要的数学思想方法，右边则是对鸡兔同笼问题基本结构的梳理，虽然简单却勾勒出了本课的重点和难点。课题“‘鸡兔’同笼”上的引号更是寓意深刻，揭示了模型的内涵。）
反思：在诘问中深入
有人讲“实践＋反思”是教师专业成长的一条捷径，在每一次的实践之后都应该有意识地反思自己的教育实践。反思这次实践，我对数学教育本身也有了一些新的思考，很多认识都逐渐清晰起来：
●怎样的课才算一节好课？
从学的角度看，课堂的主角应该是学生！怎样的课才是好课，看看孩子的表现就知道了：孩子的学习快乐吗？孩子的学习高效吗？孩子的学习可持续吗？……孩子们的学习状态应该是考评课堂最重要的指标。当然这些也离不开老师的引导与启发，但是老师的作用也仅此而已。没有深度和力度的课堂是苍白的，学生的心中有一杆秤，称得出老师教学的分量。
从教的角度看，好课应该是真实而又扎实、大气而又富有灵气的。真实，就是要求我们的课堂能够看到学生从不懂到懂、不会到会、从初步感知到深刻认识、从学会到会学、从会学到善学、乐学的过程。扎实，教学必须是扎实的，在追求开放自主的基础上，教师的主导作用不可忽视。与课前的基础比较，学生哪些方面的能力和素质得到了提升，提升了多少，这应该是我们关注的重点。大气，就教师而言，所谓大气是指教师在教学中表现出的充满自信、不急不躁的教学素养；对课堂而言，所谓大气就是指那种开放的、流畅的、框架式的生成性课堂。灵气，它所显现的是教师的一种高超的教学技艺。注重课堂生成，教师对课堂的驾驭能力显得尤为重要，这也对教师的专业素养提出了更高的要求。
“不看广告，看疗效。”这是一句很流行的广告语，它告诉我们一个简单的道理——选药别看外在的包装等因素，疗效才是关键。教学同样如此，怎样的课才算一节好课？“效果才是硬道理！”
●数学学习该给孩子留下些什么？
数学学习究竟该给孩子留下些什么？是给孩子一堆金子，还是给孩子一个点金的手指？理论上我们似乎挺明白，可做起来却不容易。数学不是天上掉下来的，而是从现实世界中抽象出来的。孩子学习数学就是为了获得“一双数学的眼睛”，学会“用眼睛去思考”。拥有一双数学的眼睛，这是孩子生存和发展的必备素质，只有这样孩子才能够透过表面的现实世界看到一个高度抽象的数学化的世界，使孩子不再对现实世界熟视无睹，像被蒙上眼睛一样到处摸索。数学教育的任务就是帮助孩子摘掉眼罩，使他们能够看到数学就在身边，只要留心就能发现：“数学，我抓到了你。”
爱因斯坦曾经说过：“当你把受过的教育都忘记了，剩下的就是教育。”数学教育的本质就是形成数学的思维习惯，孩子学了那么多的数学知识（如三角形的面积公式），走向社会后还有多少人会简单直接地用到它？我们的教学还能给孩子留下些知识以外的东西吗？在这次的实践中，我努力想留给孩子们一些当他们把这些知识都遗忘后，还能存留在记忆深处的东西如：深入思考的意识、不断反思的习惯、数形结合的策略、奇思妙想的胆识……它们和数学知识一样具有价值，甚至可以说它们比知识本身更具有可持续发展的价值。如果将学生的数学素质看作一个坐标系，数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴上的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于孩子从两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响孩子能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，既是数学教育改革的新视角，也是进行有效教学的突破口。
●教学是预设还是生成？
“生成”是课改中使用频率较高的一个词，何谓“生成”?是不是课堂上孩子提出一个老师意想不到的问题或算法就算生成？这是对生成的一种片面理解。生成既有预料之内，也有意料之外。前者可能更重要，一堂课能否得到丰富的“预料之内的生成”决定着一堂课的成败。教学是一种教师价值引导和学生自主建构相统一的活动：一方面，教学蕴含着教师的主观意趣，这种主观意趣内含着教师的价值选择和价值预设；另一方面，学生的精神世界是自主地生成和建构的。过分强调前者，教学就会成为强制灌输的活动；而过分强调后者，教学就会沦落为一种放羊式的活动。郑毓信教授就曾指出：尽管教师可以让学生自由地发表对于学习内容的意见，但教师应通过重复、确认、淡化等方法很好地去把握课程的前进方向，而不能放任自流。只有这样，我们才不会因为学生的意外“生成”而“迷失方向”。
在预设与生成这一对关系中，不能把任何一项绝对化，在注重教学生成性的同时必须关注预设。新课程对于预设的要求不是降低了而是提高了，它要求预设能够关注学生的个体差异（不仅仅是认知上的差异），能促使课堂多向、多种类型信息交流的产生。预设要考虑不同的学生会有哪些不同的思考，可能会出现哪些解决方法，各种方法展现后怎样促进学生与课程各种因素的交互作用，帮助学生形成新经验，即我们必须把单线型的预设变成多线型的预设。面对生成性课堂我们必须充分预设，但又要讲究预设的策略，即预设应设置一定的空间，给予一定的弹性，而不是把每一步都预设，把每个预设都框死。只有这样，才会使预设脱去僵硬的外衣而显露出生机，才会使教师的教学既有胸有成竹的从容又不乏灵活机智的创造，才会使教学的生成成为可能。
延伸：在评论中提升
虽然很小的时侯我也学过鸡兔同笼问题，在后来的学习和工作中又多次接触这类问题，但是通过这次探索，我对鸡兔同笼问题又有了新的、更深刻的认识。鸡兔同笼问题是我国民间流传下来的一类数学妙题，是前人探究出来的知识成果，它集题型的趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是实施开放式教学的好题材。鸡兔同笼问题的“三性”，在激趣上、知识上、思维上、应用上都有其独到的价值，如此好的题材应当作为我们小学数学教学中具有特色的一类题型，舍弃不得！如果能将它编入我们的新版数学教材，可谓是善莫大焉！这也是我写作本文的意图之一。
在这次教研活动结束之后，江苏省著名特级教师陈今晨先生专题撰写了教学评论文章《可贵的“追问”》，对我们的探索给予了充分的肯定。
相关链接
我县实验小学年轻的数学教学骨干储冬生同志在我县“小学数学教研精品展示”上千人参与的大型教研会上，成功地执教了一节“鸡兔同笼”观摩课，获得了与会者的一致好评。该课思维含量足，课堂境界新，值得称道的教法特色在于：
其一，大胆开发我国古代传统的典型问题——“鸡兔同笼”这一重要的教学资源，进行教材的自选自编，坚持了教者教学中对课程教材的部分编写权利。
其二，课上引导学生自学自探、自解、自我总结、归纳，形成对鸡兔同笼问题的构题特征与解法思路的规律性的认识。
其三，广泛搜集生活素材，力求实现古今沟通，多层次、多角度地渗透数学建模思想。
其四，重视数学思想方法与思考策略的教学，强调运用画图、列表、算术思路和方程解法来探究，进行数形结合的信息表达，促进学生思维的高效。
其五，注意培养学生积极探究的学习态度和丰富新异的想象力，以及不断反思和追问的学习进取精神。
“好课不厌百回问。”课堂教学的特色是教者自身积极进取的人生态度、认真负责的工作作风，精益求精的治学精神的折射与倒映。围绕该节课的教学，教者在该节课的酝酿备课与完课之后，始终不断地自我拷问，自我反思，促成了教者的教学意识的清醒自觉与辨证全面，完成了教学思路的明晰与教学设计的出新，当然也使教者自身的业务境界获得了前所未有的嬗变与涅槃。
在教学前，酝酿与确定教学内容时，教者开始拷问教学内容价值取向，以数学建模的功能来定位典型问题的教学价值；拷问数学活动确定范围，强调内隐的思维操作是数学学习活动的根本要求；拷问教材之于教学的意义，以自己的阶段性区分的教学理解来诠释“用教材教”的含义，实现一课多教，常教常新。这是教者将日常的教学准备业务实践与宏观的教学观念转变自觉挂钩所反映的业务研修觉悟。
在备课中着手设计教法进程时，教者又反复地提问自己，安排多样化算法的目的是什么，认为它是作为过程展示比较的，目的在于促进学生解法的最优化；提问自己如何帮助学生建构数学模型，明确本例教学中从事物对象的迁移，突出数量差异的变化，再到语言概括的问题模型的抽象与演绎，最终实现其在儿童脑中的内化，形成了一条促进建构的教学之路；教者提问自己如何体现数学课堂的文化意蕴，以谈古论今的背景和广阔现实生活斑驳的色彩来涂抹、包装课堂，吹进一股多彩、丰富、鲜活的数学课堂的文化风味；教者提问自己，“数学教学为了什么”这一根本目标，教者认可透过数学知识的授受，在学会解题中跃升到追求“给孩子们留下一些数学以外的东西”，即为了追求孩子们的可持续发展，为了其一生的奋进与幸福筑基。
这是教者在备课业务活动中的自我意识的搏击与争斗，是教学思想的再明确，教学目标的再提升，教学途径的再更新，是虚实结合务实中的务须，务虚指导下的务实。
在上完本课后，对如何评价课堂表现与教学效果的考量上，教者又毫不放松对自我的要求，引发了新的不懈的诘问。
教者在诘问中坚持认为，课堂表现的主角是学生而非教师，课堂状态的考察应着眼于课堂学生学习的状态—— “是否快乐”、“是否高效”、“是否可持续”……思考如何处置才能更好地处理预设与生成的关系；如何尝试，迁移与下放本课教学内容，走出小学数学新的教改之路……
这是极负责的事后之事的追问与反思，是一种教研自觉与教改执着的品质流露，是教者高远的志向与“学不可已”的研究者的教学创新风貌的亮相。
正是在这连续的拷问、提问、诘问之中，教者的课堂教学不断出新，日臻完善，上出了新的质量，新的风格，新的境界！
其实，这种教学追问，正是一个青年教师业务成长途程中留下的一溜溜足迹，是攀登者上升中甩出的一串串汗珠，是研究者思考中迸发的一道道火花。由此可以窥见教者内心深处的追求与快乐。
教学的发展是孩子发展的前提，而教学的发展又有赖于教师的发展。在这一生动的教学案例中，教学的发展、教师的发展和最终实现的儿童的发展都集中地体现在这一系列难能可贵的“追问”之中！可以认为，这种追问就是教研过程，这种追问就是坚持改革，这种追问就是师生灵性的生涯与智慧的成长。一言以蔽之，这种追问就是与时俱进，就是不断发展。
愿小学数学教师都能不断地实行追问，以不简单的心态来对待知识如此简单的小学数学教学，以自觉的追问来把握教学内容的地位、范围与联系，明确教学设计安排的目标、方向与重点，促进课堂的高效、快乐与可持续，从而切实地推进小学数学的课堂教学改革与课程改革。
“好课不厌百回问”，发展俱在百问中！
（《可贵的“追问”》 江苏省海安县教育局教研室 陈今晨）
看着陈今晨先生的谆谆教诲和殷切期望，不禁让我又陷入了新的思索：初次的探索已经告一段落，接下去我们还可以做些什么？中外数学文化史上还有许多的典型问题，如果我们在新课程理念的指导下调整视角去对它们进行一些深度的“反思”与“追问”，一定会有更多惊喜的发现！现在我们又开始了新的尝试，百鸡问题、牛顿问题、黄金分割率、完美正方形、亲和数、四色问题，甚至简单的幻方、数学难题哥德巴赫猜想……都已经进入我们的开发视野。当然，我们的探索并不是“孤军奋战”，特级教师华应龙的《神奇的莫比乌斯圈》、《对话中分享“孙子定理”》，特级教师周卫东的《奇妙的斐波纳契数列》等典型课例，张齐华老师对数学文化的关注和研究等等，对我们的探索都具有很好的借鉴意义。其实教学资源无处不在，无时不在，也取之不尽、用之不竭，只要我们能够“对内搞活，对外开放”，并做到耳聪目明、心灵手巧，应用“挖（挖掘）、调（调节）、借（借代）、抓（抓取）、提（提炼）、引（引用）”等多种手段，那我们的数学教学一定会“不尽‘材源’滚滚来”！
参考文献：
[1] 郑毓信著：《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社2004年1月版。
[2] 吴亚萍著：《小学数学教学新视野》，上海教育出版社2006年1月版。
[3] （韩）裴钟秀著 金景成译：《我的数学有生命》，长春出版社2005年7月版。
[4] 何怀宏著：《问题意识》，山东友谊出版社2005年1月版。
[5] 吴义方 吴卸耀编著：《数字文化趣谈》，上海大学出版社2005年1月版。
[6] 曹培英著：《小学数学教学改革探析》，人民教育出版社2004年9月版。
[7] 季素月主编：《给数学教师的101条建议》，南京师范大学出版社2005年10月版。
[8] （美）James A. Middleton Polly Goepfert 著 伍新春 张洁等译：《数学教学的创新策略》，中国轻工业出版社2003年6月版。
[9] J.L.MARTIN 著 王嵘等译:《教与学的新方法·数学》，北京师范大学出版社2004年2月版。
【作者简介】储冬生，男，78年12月出生，中共党员，教龄8年，县级骨干教师，县优秀中队辅导员，市级教坛新秀，全国优课评比一等奖获得者，任教六年级数学。近年在《人民教育》、《中国教育报》、《教育参考》、《小学数学教师》等报刊发表文章八十多篇，四十多次在各级征文评比中获奖，曾六次获得江苏省“教海探航”征文一、二、三等奖。
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