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方程的根与函数的零点
作者:童运和 来源:厦门市松柏中学 点击:10808次 评论:0


----福建省高中新课程数学课堂教学研讨会观摩课设计、反思与点评
 

 

摘自:《福建省连城一中》

教学目标

了解函数零点的概念,理解函数零点与相应方程间的关系,掌握利用函数性质判定零点存在的条件;对零点存在性的探索、发现及应用;在函数与方程的联系中体验数形结合思想,转化思想和近似思想,发展学生对变量数学的认识,体会函数知识的核心作用。

教学重难点

重点:零点的概念及存在性的判定,重在数形结合的几何方法。难点:零点个数的确定。

教学设计

解方程(比赛):①6x-1=0;②3x2+6x-1=0。再比赛解3x5+6x-1=0,无法解答,产生疑惑引入课题:一次方程、二次方程、三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算,乘方与开方等运算来表示,但高于四次的方程一般不能用公式求解,教师简要讲解阿贝尔(挪威)定理(五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法),伽罗瓦(法国)的近世代数理论。

人们一直在研究方程的近似解方法,值得一提的是,早在十三世纪的中国,秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法……讲清为什么要学本节内容问题后引入课题。

1.方程的根与函数的零点

我们先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:①方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;②方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3。

(教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系,引出零点概念,学生经过独立思考完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并交流)

上述结论推广到一般的方程和函数又怎样?函数零点的概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

函数零点的意义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。

(教师引导学生仔细体会左边的这段文字,感悟其中的思想方法,由“全方位指导”转为“适时指导”,学生认真理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索求函数零点的方法)

求函数y=f(x)零点的方法:代数法和几何法。求下列函数的零点:①y=x2-4x-5;②y=-3x5-6x。

问:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在什么条件下有两个零点?一个零点?没有零点?如何求函数y=-3x5-6x+1的零点,产生冲突。转入探求:如何确定函数f(x)在某一个区间内的零点?最后求出零点的近似值。

2.零点存在性的探索

用连续不断的几条曲线连接如图4A、B两点,观察所画曲线与直线l的相交情况,由两个学生上台板书:

两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点,观察所画曲线与直线l的相交情况,由两个学生上台板书后说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间(a,b)内。

观察下面函数f(x)=0的图象(如图5)。

①区间[a,b]上______(有/无)零点;f(a).f(b)_____0(<或>)。

②区间[b,c]上______(有/无)零点;f(b).f(c)_____0(<或>)。

③区间[c,d]上______(有/无)零点;f(c).f(d)_____0(<或>)。

(教师引导学生结合函数图象,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象,归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析总结概括形成结论)

由以上两步,你可以得出什么样的结论?一般地,我们有:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f(a).f(b)

(教师引导学生理解函数零点存在定理,分析其中各条件的作用)

求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上。

已知函数f(x)=-3x5-6x+1有如下对应值表:

x

-2

-1.5

0

1

2

f(x)

109

44.17

1

-8

-107

函数y=f(x)在哪几个区间内必有零点?为什么?

通过本例引导探索,讨论探求1:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)>0时,函数在区间(a,b)内没有零点吗?

探求2:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a).f(b)

探求3:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且函数在区间(a,b)内有零点时一定有f(a).f(b)

下面的说法正确吗?合作讨论1:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)

合作讨论2:证明零点存在定理是错的,反例如下:我们知道函数f(x)=1/x没有零点,但f(-1)=-10。由零点存在定理f(x)=1/x在(-1,1)内必有零点存在。

(教师提问:这样的推理正确吗,怎样利用函数零点存在性定理断定函数在某给定区间上是否存在零点)

求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

(教师引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象,对函数有一个零点形成直观认识。一般要求学生掌握直接画图、分两个函数求图象交点个数、利用函数单调性判断等三种方法)

练习:你能用几种方法求下列函数的零点个数?①f(x)=x2+2x-6;②f(x)=2x+2x-6;③f(x)=lg0.5x+2x-3。

(教师总结方法,结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数;让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用)

教后反思

本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放中学课程,如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点,因此设计符合学生认知规律,从具体到抽象,从特殊到一般,从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始,通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。如反例、条件的变换与结论的关系等等,对学生今后学习和分析数学问题很有帮助。

新课程强调探究,但探究不宜多,好钢用在刀刃上,设计一个好的探究问题是课堂设计的重点,高一新生的数学教学重点放在发展学生掌握数学语言和应用数学语言学习数学、进行交流的能力,因此应以提高学生的学习兴趣,体会、掌握基本数学思想方法,掌握“三基”,提高初步探究能力为主。

本课的不足之处就是课堂容量偏大,导至进行过程中后续例题展开不够,课堂时间偏紧。

点评:福建省普通教育教学研究室/赵育建

童运和老师讲授的“方程的根与函数的零点”是高中新课程必修模块数学1函数应用的重要内容。函数图象与x轴交点是横亘在“方程的根”与“函数的零点”之间的桥梁。本课充分利用了这条桥梁酣畅淋漓地演绎了教学主目标----函数零点的命题。

课程借助二次函数的图象与x轴是否有交点的事实以及一元二次方程的根这些学生们十分熟悉的内容,创设情景引入课题,迅速拉近了函数零点这个悠远陌生的概念与学生的距离。为后续内容的讲述铺平了道路。在尝试求解答五次方程失败后,教师用浓缩了的数学史的简介活跃了课堂气氛,也挑起学生探索新知识的欲望。本节的“阅读与思考”栏目关于方程求解的精彩回溯,使学生在阅读自学中开阔视野,同时感受着数学文化的熏陶。

随后,零点存在性的问题浮出水面。正因为f(a).f(b)<0且图象在区间[a,b]上连续不断,是函数f(x)在区间[a,b]上有零点的充分而非必要条件,容易引起思维的混乱就是很自然的事了。教师在此驻足用浓墨描上一笔,课堂上跟随在方程5x2-7x-1=0问题之后,教师构造的:探求1----探求3,这3个例子设计精巧,层层递进。此间融进了教师的功力与匠心。由此引发了学生积极的思考、探索与交流,将教学推向高潮。课堂顿时流淌着活跃的气氛。思维的碰撞既使学生弄懂了问题,也提升着教学的品位。同时也表明新课程中所倡导的新的学习方式逐渐被教师熟悉并运用。

在本节课的教学进程中学生参与了解方程、画草图探究函数零点的存在性。教学中几乎所有的函数作图,都是由学生在讲台上用计算机完成。现代信息技术的使用让零点的存在性的判定变得轻松,也使得零点个数的确定的难点问题迎刃而解,从而大大地提高了课堂教学效益。

必须指出的是,本节课教师表现出了过强的知识扩张欲望,由此导致教学节奏趋紧。这样无形中部分吞噬了学生的思考空间,对于数感较差的学生可能会增加他们理解的困难。过大的张力从某种意义上损伤了教学的神韵。在这一节课最重要的是用函数图象来研究函数的零点问题,而应避开用“几种方法”来讨论这个问题。于是,课堂中设计的探索用多种方法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数的环节,冲淡了教学主题,可以舍弃。这样不仅可以舒缓课堂节奏,也更有助于教学主旨的渲染和吸收;割舍一些内涵相近的随堂练习,就不至于在下课铃响过,教师还有一堆既定的目标尚未达到了。例如可以将最后的一个课堂练习在降低目标定位和减少题量后,改成“练习:用你熟悉的方法求下列函数的零点个数?①f(x)=2x+2x-6;②f(x)=lg0.5x+2x-3。”另外,为图象在区间[a,b]上连续不断这个条件设计的“合作讨论2”是一个比较极端的反例,若将其改为作业,留给学生课后思考倒是不错的选择。当然这些内容与本课的成功相比较,应该属于次要问题的范畴了。

更新:2008/8/31 2:46:18 编辑:fengyefy
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