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“两角和的余弦”教学课例分析
作者:许雪 来源:昌平一中 点击:10198次 评论:0


 

 

摘自:《昌平教研网》

一、教学设计

1、背景情况

传统教学中,“两角和的余弦公式”的推导,基本上都是由老师来完成的,学生大都是作为一个忠实的听众或观众,将公式背下来,会利用其解题就可以了。而新课程改革方案明确提出:有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆,动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。课堂教学如何体现这种要求,即如何创设情景,提供学生探索与交流的时间与空间,是目前值得我们思考的问题。再结合本人所交班级[高一(1)、(2)]均是区级实验班,承担有学校研究性学习的课题任务,于是便萌生了上一堂“培养学生创新精神与实践能力”的教改实验课,并邀请区教研员参与研究指导。

2、课前准备

教师设计制作多媒体课件,其中文字及静态图形用“Power-Point”制作,动态图形用《Z+Z》超级画板制作。

3、设计思路与意图

根据“研究性学习”的教学模式,既构建一个以情景为基础,提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情景----问题”学习链,使学生真正成为课堂的主人,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。基于上述精神,结合教学内容及教学对象的特点,我做出了如下教学设计:

(1)创设一个学生熟悉而又感兴趣的数学情境:求一直角三角形花池的直角边长。

(2)启导学生将现实问题转化,抽象概括成数学问题:的值是多少?

(3)为了解决其数学问题,要求学生自主探索、交流合作、估算猜测;教师进行启发诱导展示动态图形;师生共同归纳总结。

(4)在“师生”与“生生”双边互动中,展示学生的数学思维建构过程,培养学生逻辑推理、演绎证明的能力。

(5)根据学生“发明”的“两角和的余弦公式”解决相关问题,让学生体会数学来源于生活,又服务于生活的道理。

二、教学过程

1、复习提问(投影展示)

①若角α的终边与单位圆的交点为P,那么点P的坐标如何表示?

②平面上两点间距离公式是什么?

2、创设情境,引入新课

师:如图,一直角三角形花池,若要为其一直角边AC安装护栏,求该护栏的长度。

生1:

师:好,作的非常快!说说你为什么将变成呢?

生1:因为可以写成,再用分配律展开就出答案了。

师:将看成两个角的和非常有创意,但是否正确?

3、实验反驳,否定猜想(学生进行自由讨论后发言)

生2:该等式不成立,比如:时,

,故.

师:该同学通过数学实验----举反例否定这一猜想,当然我们还可以举出更多的反例.想一想我们能否从理论上分析否定这一猜想呢?

生3:若a+b为钝角,a、b都是锐角,那么,而,当然有.

师:很好,既然不能从中直接求出,我们能否从中得到呢?

3、尝试探求,推导公式(学生小组讨论后,由小组代表发言)

小组1代表发言:我们组经过讨论研究,从以下几个步骤得出结论

(1)寻找工具----坐标法

若把a、b、a、a+b这三个角作在同一个单位圆中(教师动画配合演示,如下图),这样的值在单位圆上的位置很容易找到.我们期望能用的值来表示.

(2)转化运算

在直角坐标系xoy内作单位圆O,并做出角a、b与-b,使角a的始边为ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2,角b的始边为OP2,终边交⊙O于点P3,角-b的始边为OP1,终边交⊙O于点P4.这时点P1、P2、P3、P4的坐标分别是

由P1P3=P2P4及两点间距离公式,得

展开并整理.

(3)得出结论

(其中a、b为任意角)

师:该组建构过程清晰,推理过程严谨。还有其他推导方法吗?

小组3代表发言:我们组和第一小组思维大致一样,只不过是我们利用P1P4=P2P3,得到,再利用换元法得到

师:两个小组建立的等式不同,得到的公式一样吗?

生:形式不一样,但实质是一样的。

4、例题析讲,强化训练

例1、求10的值.

变式1:求的值.

变式2:求的值.

变式3:化简.

变式4:化简.

例2、已知

,求的值.

变式1:证明.

变式2:已知,求

由于学生自己亲身经历了公式的推导,因此对公式的使用非常的准确,迅速。这里不再祥述。

5、归纳小结,延伸提高

师:回顾公式的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角a,b的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用.除此以外,你觉得你最大的收获是什么?

生:利用数形结合思想、转化思想及方程的思想推导出“两角和的余弦公式”。

6、布置作业

(1)已知,且都是第二象限角,求.

(2)化简:

.

(3)证明:.

三、教学反思

1、本节课,教师立足于所创设的情境,从解决问题的需要出发,灵活有序地组织启发学生,通过动手实践、自主探究、合作交流等学习方式从事一系列具体的数学活动,亲身经历了提出问题、解决问题的全过程,使学生真正成为“两角和的余弦公式”的“发现者”和“创造者”,切身感受到发现与创造的苦与乐。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

2、在教学过程中,未能及时点透数学思想的使用,导致数学思想方法落实得不好,在今后的教学中一定加以纠正。

四、课后评价:(董武)

本次展示的研究课是带有一定的导向性,在《新课程标准》刚执行时,广大数学教师对新标准还不是很熟悉,今后数学课该怎么上?教材该如何选择等问题不是很明确之时,无疑为我们广大数学教师指明了方向,从展示的课来看可以从以下两方面进行总结:

1、新

(1)教学理念新:人人学有用的数学,做数学,做得好。

(2)教案形式新:有教学策略,有设计,明细。

(3)教学手段新:课件作的漂亮,运用恰如其分。可相互交流,资源共享。

2、实

(1)实在:教学实实在在,有回答,有评价。整节课都十分关注学生的思维发展。

(2)实效:公式推导出来后,让学生思考、分析,教师再规范的板书,为学生做作业,完成课后习题提供了样板。

(3)实用:整节课教师都在有意识的培养学生的创新精神与实践能力,突出学生的主体地位及教师的主导地位。

更新:2008/6/18 6:17:13 编辑:fengyefy
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