摘自：《昌平教研网》

一、教学设计

1、背景情况

传统教学中，“两角和的余弦公式”的推导，基本上都是由老师来完成的，学生大都是作为一个忠实的听众或观众，将公式背下来，会利用其解题就可以了。而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。课堂教学如何体现这种要求，即如何创设情景，提供学生探索与交流的时间与空间，是目前值得我们思考的问题。再结合本人所交班级[高一（1）、（2）]均是区级实验班，承担有学校研究性学习的课题任务，于是便萌生了上一堂“培养学生创新精神与实践能力”的教改实验课，并邀请区教研员参与研究指导。

2、课前准备

教师设计制作多媒体课件，其中文字及静态图形用“Power-Point”制作，动态图形用《Z+Z》超级画板制作。

3、设计思路与意图

根据“研究性学习”的教学模式，既构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情景----问题”学习链，使学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。基于上述精神，结合教学内容及教学对象的特点，我做出了如下教学设计：

（1）创设一个学生熟悉而又感兴趣的数学情境：求一直角三角形花池的直角边长。

（2）启导学生将现实问题转化，抽象概括成数学问题：的值是多少？

（3）为了解决其数学问题，要求学生自主探索、交流合作、估算猜测；教师进行启发诱导展示动态图形；师生共同归纳总结。

（4）在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构过程，培养学生逻辑推理、演绎证明的能力。

（5）根据学生“发明”的“两角和的余弦公式”解决相关问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活的道理。

二、教学过程

1、复习提问（投影展示）

①若角α的终边与单位圆的交点为P，那么点P的坐标如何表示？

②平面上两点间距离公式是什么？

2、创设情境，引入新课

师：如图，一直角三角形花池，若要为其一直角边AC安装护栏，求该护栏的长度。

生1：

师：好，作的非常快！说说你为什么将变成呢？

生1：因为可以写成，再用分配律展开就出答案了。

师：将看成与两个角的和非常有创意，但是否正确？

3、实验反驳，否定猜想（学生进行自由讨论后发言）

生2：该等式不成立，比如：时，，

而，故.

师：该同学通过数学实验----举反例否定这一猜想，当然我们还可以举出更多的反例.想一想我们能否从理论上分析否定这一猜想呢？

生3：若a+b为钝角，a、b都是锐角，那么，而，当然有.

师：很好，既然不能从、中直接求出，我们能否从、、、中得到呢？

3、尝试探求，推导公式（学生小组讨论后，由小组代表发言）

小组1代表发言：我们组经过讨论研究，从以下几个步骤得出结论

（1）寻找工具----坐标法

若把a、b、a、a+b这三个角作在同一个单位圆中（教师动画配合演示，如下图），这样、、、的值在单位圆上的位置很容易找到.我们期望能用、、、的值来表示.

（2）转化运算

在直角坐标系xoy内作单位圆O，并做出角a、b与-b，使角a的始边为ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2,角b的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角-b的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.这时点P1、P2、P3、P4的坐标分别是

由P1P3=P2P4及两点间距离公式，得

展开并整理.

（3）得出结论

（其中a、b为任意角）

师：该组建构过程清晰，推理过程严谨。还有其他推导方法吗？

小组3代表发言：我们组和第一小组思维大致一样，只不过是我们利用P1P4=P2P3，得到，再利用换元法得到

师：两个小组建立的等式不同，得到的公式一样吗？

生：形式不一样，但实质是一样的。

4、例题析讲，强化训练

例1、求10的值.

变式1：求的值.

变式2：求的值.

变式3：化简.

变式4：化简.

例2、已知

，求的值.

变式1：证明.

变式2：已知，，，求

由于学生自己亲身经历了公式的推导，因此对公式的使用非常的准确，迅速。这里不再祥述。

5、归纳小结，延伸提高

师：回顾公式的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角a，b的任意性，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用.除此以外，你觉得你最大的收获是什么？

生：利用数形结合思想、转化思想及方程的思想推导出“两角和的余弦公式”。

6、布置作业

（1）已知，且，都是第二象限角，求.

（2）化简：

.

(3)证明：.

三、教学反思

1、本节课，教师立足于所创设的情境，从解决问题的需要出发，灵活有序地组织启发学生，通过动手实践、自主探究、合作交流等学习方式从事一系列具体的数学活动，亲身经历了提出问题、解决问题的全过程，使学生真正成为“两角和的余弦公式”的“发现者”和“创造者”，切身感受到发现与创造的苦与乐。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

2、在教学过程中，未能及时点透数学思想的使用，导致数学思想方法落实得不好，在今后的教学中一定加以纠正。

四、课后评价：（董武）

本次展示的研究课是带有一定的导向性，在《新课程标准》刚执行时，广大数学教师对新标准还不是很熟悉，今后数学课该怎么上？教材该如何选择等问题不是很明确之时，无疑为我们广大数学教师指明了方向，从展示的课来看可以从以下两方面进行总结：

1、新

（1）教学理念新：人人学有用的数学，做数学，做得好。

（2）教案形式新：有教学策略，有设计，明细。

（3）教学手段新：课件作的漂亮，运用恰如其分。可相互交流，资源共享。

2、实

（1）实在：教学实实在在，有回答，有评价。整节课都十分关注学生的思维发展。

（2）实效：公式推导出来后，让学生思考、分析，教师再规范的板书，为学生做作业，完成课后习题提供了样板。

（3）实用：整节课教师都在有意识的培养学生的创新精神与实践能力，突出学生的主体地位及教师的主导地位。