——北师大版五年级下册《分数除以整数》教学案例

关键词：感悟算理　掌握算法　交融

内容摘要：

算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面,算理解决“为什么这样算”的问题,算法是算理的具体化,解决“怎样算”的问题。算理探究过程中的每一个步骤以及操作方法都是算法形成的直观雏形,需要精心设计,实现算理和算法的相互交融,促进算法的有效生成。笔者结合“分数除以整数”中推导分数除以整数的计算方法环节，二次教学实践的对比，谈谈对算理感悟和算法掌握的认识。

案例描述：

第一次教学：

1、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？

学生列式为4/7÷2，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的2/7。

2、联系已经学过的分数乘法的意义，说明把一张纸的4/7平均分成2份，也就是求4/7的1/2是多少，可以用乘法计算，列式为4/7×1/2＝2/7。使学生初步看到，除于整数也就是乘以这个数的倒数。

3、借助直观图使学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？

学生列式为4/7÷3，教师帮助学生理解，把一张纸的4/7平均分成3份，也就是求4/7的1/3是多少，也可以用乘法计算，列式为4/7×1/3＝4/21。进一步说明，除于整数也就是乘以这个数的倒数。

4、举出分子不能被整除的例子，从而让学生熟记分数除法的计算法则：除以一个数，就是乘以这个数的倒数。

课后反思一：

此片断教学分数除以整数。更多地是关注学生知识与技能学习的结果上，其实学生学习过程中还有比结果更重要的是学习过程的经历，学生学习的主体地位没有充分发挥，学生没有愉悦的、深刻的、充满个性色彩的良好体验，自主操作活动所富有的广泛思考价值、探究价值和情感价值挖掘不充分。整个新授过程7分钟左右结束，表面上是为后面的练习节缩了很多时间，但实际从学生的发展角度和教学效果上看，有欠缺之处。课后，对一个大组12人做的一道练习进行调查统计，有7名同学知道了分数除以整数等于乘这个数的倒数的计算方法。有2名同学在计算除以一个整数的时候，没有将除号变乘号。有2名同学后面那个整数没有变成倒数。还有1人不仅把除以的除数变成乘它的倒数，还把被除数变成了倒数。当对这7名同学进行课后追问，为什么除以一个整数要乘这个整数的倒数时，只有3个同学可以结合涂的过程说出算理，其它学生是知其然而不知其所以然。反思该片断教学，认为此片断是为计算而计算。课中没有给足学生自主探索的空间，让学生充分亲历动手操作、借助图形语言比较与思考，体会发现“除以一个数”与“乘这个数的倒数”之间的关系。学生没有从思想上达到对分数除法计算方法的深刻理解。老师将算法“灌”给学生，这样忽视算理的形成与计算方法的多样化，势必会给学生带来思想的僵化，思维的束缚，成为培养学生计算能力的绊脚石。

第二次教学：

片断一：4/7÷2怎么计算？

师：（出示一张包装纸）母亲节快到了，老师想用这张漂亮的包装纸把送给妈妈的礼物包装起来，给她一个惊喜。可是这张纸太大了，把它的4/7再平均分成2份就够了，每份是这张纸的几分之几？

师：4/7表示什么意思？

生：是把单位“1”（也就是这整纸）平均分成７份，取其中的4份。

（请回答的学生边说边画阴影）

师：把这张纸4/7平均分成2份，也就是把图上的哪一个部分平均分成2份？（让学生指出来）

师：得多少呢？请学生拿出准备好的白纸先表示出4/7，再想一想、涂一涂。

（学生动手操作后交流展示）

师：谁来说说你是怎样想的？

生1：我是把这4份竖着对折，就可以看到每份是2份，所以每份占这张纸的2/7。

生2：我发现4/7里有4个1/7，平均分成2份，每份就是2个1/7，是2/7。

生（小机灵洋每次都有新奇甚至怪异的想法）：我还有不同的折法，我是将这4份横着对折，发现每份是整张纸的4/14，不过约分后还是2/7。

（有的同学表现出疑惑的样子，有的同学小声说，这很奇怪）

师：“你能结合你折的图再具体说一说你的想法吗？

生：横着对折其实是将整张纸平均分成14份，要它的8/14平均分成2份。每份是4/14。4/14化简也是2/7。

师：不错，善于想出和别人不一样的折法，虽然思路不同，折法不同，，但最后结果相同，那你认为怎么折更简便直观一些呢？

生：前面两个同学折得很直观。

师：怎样列式计算呢？生汇报，师板书：4/7÷2＝2/7

师：分数除以整数到底应该怎样计算呢？我们一起来探索分数除以整数的计算方法。板书课题：分数除法（一）

师：想一想，如果不看图，你会计算4/7÷2＝2/7吗？你能提出你的大胆猜想吗？

（小组交流后汇报展示。）

生：分母不变，被除数的分子除以整数得到商的分子。

师追问：分母怎样？分子是怎样得来的？照这样4/7÷2该怎样计算？（将计算过程板书）4/7÷2＝4÷2/7＝2/7

师：你们同意他的想法吗？这里的4是什么，为什么用4直接÷2，分母为什么不变？

生：这个4表示4个1/7，把4份平均分成2份，每份是2个1/7，所以分母不变，商的分子就是被除数的分子除以整数。

师：大胆地猜想是一种非常好的数学思考方法，但还要经过科学的验证。科学的验证可不仅仅是一两道题就能得出结论，同学们，你们能不能自己设计一道分数除以整数的计算题来验证刚才的想法是否可行？

（学生先独立在练习本上试一试，然后交流展示）

谁来说说你验证的结果？

生1：我算得是8/9÷2＝8÷2/9＝4/9

生2：我列的算式是3/5÷3＝3÷3/5＝1/5

生3：我写是的3/4÷2发现被除数的分子3除以2不能得到整数。

……

（教师将回答有序的板书）

师：为什么有些题目很顺利地算出来了，有些题目却不能很快地算出准确答案呢？这道3/4÷2与刚才那几道有什么不同？

生：被除数分数的分子不能被除数整除。

师：看来用分母不变，被除数的分子除以整数得到商的分子，这种方法，受到一定的限制，我们得换一个思维方式探索一种能普遍运用的方法。

片断二：如果要算4/7÷3刚才的方法还能用吗？

师：（出示一张涂有4/7的包装纸）刚才我试了试，给妈妈礼物包装的这张纸还大了一些，只要把这4份再平均分成3份就够了，每份是这张纸的几分之几呢？

师：请同学们动手在纸上分一分、涂一涂。涂好后在四人小组内交流一下怎样分。

师：你是怎样分的？

生：将这4份横着平均分成3份，发现这时整张纸被平均分成21份，每一份就是这张纸的4/21。

生：我想像了一下，取4/7的纸7张，合起来就是4张。再把这4张纸平均分成21份。4/7÷3=（4/7×7）÷（3×7）=4/21

师：把4/7平均分成3份，这其中的一份实际上就是4/7米的几分之几？还可以怎么计算？

生：平均分成3份，其它就是求4/7的1/3。我们可以用乘法方法来计算。

师：（板书）对照这两道算式，你有什么想法吗？

师：把4/7平均分成3份，就相当于求4/7的1/3，结果都是4/21。因此，中间我们可以用等号连起来。你们看，这样，原来的除法算式就转化成了什么算式的？什么变了？什么没变？这样有什么作用？

生：被除数没变，除号改成了乘号，除数3改成了3的倒数1/3。

师根据学生发言板书。

4/7÷3＝4/7×1/3＝4/21

4/7÷3=（4/7×7）÷（3×7）=4/21

师生小结：分数除以整数，就等于分数乘整数的倒数。

师：同样的4/7平均分成5份，每份实际上是4/7的几分之几？4/7平均分成6份，每份实际上是4/7的几分之几？

生：4/7÷5＝4/7×1/5＝4/35

生：4/7÷6＝4/7×1/6＝4/42

（生自由汇报并板书算式）

小结：同学们真能干！会把新知识转化成旧知识来解决，以旧学新是我们数学学习的一个重要的方法。这就是分数除以整数的常用的方法，谁来说一说这种算法是怎样的？

生：分数除以整数，就等于分数乘整数的倒数。

师：0能不能作除数呢？

生：0不能作除数，所以，这里还要补上一个注意条件。（补：0除外）

师：在今后的分数除法计算中，我们常用这种方法。因为无论分数的分子能否被整数整除都可以进行计算，不受什么条件限制，它的应用更普遍。当然，分数的分子如果正好能被整数整除时，我们也可以应用第一种算法计算，具体问题具体分析，做题时要合理灵活地选择计算方法。
课后反思二：

1、重过程，架起“算理”与“算法”之桥。

对分数除以整数的计算方法的教学，本次教学不再是重结果，轻过程。而是更关注学生的学习过程，充分挖掘教材两个情境图。让学生在涂一涂，算一算的过程中，借助图形语言，利用已学过的分数乘法的意义，解决分数除以整数的计算问题。片断一中让他们在相互交流、碰撞、讨论中，进一步明确算理。重点探究后，并不急于得出计算法则，而是继续让学生做一做，仍允许他们选用自己认为合适的方法。片断二中通过“4/7÷3”一题，分子不能被除数3整除，让学生在不断的尝试、探索中感悟到：被除数的分子除以整数得到商的分子，这种方法受到一定的限制。而“分数除以整数（零除外），等于分数乘以这个整数的倒数”这种方法更普遍。使学生在亲身经历“结果”形成的过程中发展思维。教学中没有刻意追求得出所谓形式上的计算法则，但学生所说的不就是算理算法的核心吗？这样无形在算理与算法之间架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成“知其所以然——用其所以然——熟练其然——计算自动化”的发展过程。构建了计算方法、计算法则交融的计算课堂。

2、重方法，促进“算理”与“算法”迁移。

在教学中，要让学生真正理解的是“为什么这样算”所蕴含的道理，这才是我们要教给学生的算理。如果只让学生掌握算法，学生只会“依样画葫芦”，不仅无法理解算理，更严重的是学生不会迁移。而迁移是再学习的一种重要能力，丧失了这种能力，造成的后果就是“老师教了我不一定会，老师没教我一定不会”的可悲局面。由此可见，算理教学的重要性。因为“理”通了，“法”就顺了。否则，充其量也只是一种“模仿”的技能，而这种技能是没有生命力的。“授人以鱼不如授人以渔”好的学习方法，学生终身受益。本节课中，通过数形结合的思想，具体的动手操作让学生体会分数除法的意义和计算方法，以及算法多样化的自主选择。让学生更好地理解旧知和新知的联系，体会除法转化成乘法的数学思想。进一步加深对分数除法计算方法的理解。

计算教学要在领悟算理的基础上掌握算法，最后形成计算技能，不明白算理的算法是机械的算法，对计算技能的形成是不牢固的。构建一个“算理”“算法”交融的计算课堂，让学生在算法的探究中理解算理，在理解算理的基础上形成算法，实现算理感悟和算法掌握的有效融合，不断提高学生的计算能力。