人教版实验教材四（下）对三角形的高和底的定义是：“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。”这个概念不仅表述了三角形的高的含义，而且指出了高和底的一一对应关系，显然这其中还明确了三角形高的画法。然而小学生空间观念尚不丰富，这样一个概念的表达似乎抽象有余，形象不足，如果教学处理不当，容易造成学生对概念的死记硬背，理解模糊，无法使学生真正理解三角形中“高”的定义，同时还给今后的几何知识学习和发展起到阻力作用。在教学实践中我曾多次发现有的学生上六年级了，还不会作三角形的“高”，因此这个内容一直成为教师毫无良策的教学难点。

一、实践中给我的困惑

至今我仍清楚的记得自己第一次是怎样教学三角形的高的。

1、出示PPT（电脑动画演示画三角形的高）

师：这是在干什么？（画高）它是怎么画的？（学生交流，教师补充）

2、师：现在能说说什么是三角形的高了吗？（生回答后，ppt展示出三角形高和底的定义并齐读）

3、说一说这句话中哪些词语比较重要？（生：一顶点、对边、垂线）

4、师：老师从黑板上的三角形ABC中选一个顶点画对边的高。这里要注意什么？（生：虚线段、直角符号、写上“高”）

5、你会画三角形的高吗？现在就给你自己的那个三角形画一条高吧！

（同桌互相检查帮助画高）汇报展示:（先展示一个同学）

师：画对了吗？我们如何验证？（生：用三角板的直角去摆摆）

师：有一个直角的三角形的同学，你的高找到了吗？有一个钝角的三角形同学你的高找到了吗？（学生也只是画出了最长边上的高）

6、思考：是否想过三角形的高可能会有几条呢？

生：我觉得有三条。

师：为什么？

生：因为三角形有三个顶点呀，从顶点出发不就可以画出三条了吗？

（ppt跟进展示验证，这里第一次出现钝角三角形的两条“边外高”）

7、小结；三角形的确有三条高，不管怎样的高，他们都有一个共同点那就是从顶点出发向对边作高的，而且高与底是互相垂直的。

8、练习画指定底边上的高

……

课后调查发现学生主要存在以下问题和疑问：

1、为什么一定要从顶点开始画对边的垂线段才是三角形的高了？（说明学生对“高”的概念模糊）

2、三角形边上有很多的点，如果都往对边画垂线段不是就有了无数条高吗？（还是说明学生对“高”的概念模糊）

3、为什么三角形只有三条高，那之前平行四边形的“无数条高”又是怎么回事？（说明学生不理解为什么要经过顶点做对边的垂线）

4、有一个钝角的三角形的高怎么会在外面呢？（说明学生不理解物体的高是该物体顶点到地面的垂直线段）

5、学生画高时，不是尺子摆来摆去，就是作业本转来转去，而且还是不能快速准确地画出三角形的高，甚至错误率高。（说明学生没有真正理解三角形“高”的定义）

二、实践后给我的反思

经过反复思考与琢磨，还向师傅金老师请教，才觉得自己的课堂教学显得过于程式化，有些环节处理过快，难点处理草率，学生感悟不深刻。学生总是在老师的暗示和牵引下被动的接受学习，对三角形高的理解也还是处于浅层次的，仅仅停留于定义的表面，学生缺少探究三角形高的数学活动过程。

有人说：你把这门打开了他就有可能发展，如果你这门永远打不开或打的很窄，学生发展的空间就很小。著名数学教育家范.希尔夫妇认为，学生空间观念不加以引导发展，很难会随着年龄自动提升。我想在课堂上如果能够充分利用学生已有的知识经验，同时设计丰富的数学活动鼓励学生去体验、去感悟，那么学生在未来的学习历程中才会有进一步的提升。

因此，如何让学生真正有效自主构建三角形的高，把握三角形高的本质属性，顺利疏通新旧知识间联系点和生长点，从而达到三维目标的和谐统一，我再一次进行教学尝试。

三、反思后改进中再实践

（片段一）课前聊身高，渗透“高”的定义

师：能猜一猜我的身高吗？

生：我猜老师的身高大约是1米7吧。

师：厉害，你猜的真准，这个1米7的高度是指从哪儿到哪儿呢？

生：（用手势比划着）是从老师的头顶到地面的竖直的高度。

师：如果要你们来量我的身高，能从肩膀开始竖直着量吗？

生：不可以，应该从老师的最高点，也就是头顶开始量起。

师：哦，量身高是要从最高点量到地面的，而且还要竖直着量。这个竖直着，在数学叫做……

生：垂直。（适时板书：垂直）

师：动物也有身高，（课件显示）你们看这里有两只长颈鹿，比比看哪一只高呢？

生：肯定是2号高。

师：为什么？

生：你看2号的身高从头到地面的高度明显比第一个高。

师：（故意问）从头到哪儿？是从头到地面还是从头到脚？（关键地方到了）

生：就是从头顶到脚站着的地面的垂直高度。

师：同意吗？谁上来指一指2号的身高在哪儿？（学生上来）

小结：无论是人的身高还是动物的身高都是指从最高点到地面的垂直距离

（片段二）课中探索“高”，发现三角形的“高”

师：（出示教具锐角三角形的木板）人有高矮，长颈鹿有身高，平行四边形和梯形也有高，那么这个三角形的身高在哪儿呢？先请一个学生上前比划给大家看看。

师：（一位学生上前指好后，再另请一位学生上前指一指）是不是这个顶点到底边的随意的一个点？要达到什么要求？请结合长颈鹿的身高来说说为什么？

生：与底边互相垂直。

师：（小结）的确三角形的身高正如长颈鹿的身高一样，（指着三角板）从最高点也就是这个顶点到对边的一条垂线段，像这样的顶点到垂足之间的距离叫做三角形的高，对边叫做三角形的底。谁愿意上来画出黑板上三角形ＡＢＣ的高吗？（学生边画教师在旁边板书出完整的定义）

师：结合以前平行四边形和梯形的画高经验，画高时应该注意些什么？

生：要注意直角尺一直角边与底边重合，另一直角边要经过顶点，还要画虚线，并标上直角符号，还要写上“高”和“底”。

师：嗯，回答的很完整，看得出你是一个细心的学生。现在你们能试着找到自己刚才所画的三角形的高吗？试着把它画出来。

（展示：上前在木板上画出它底边上的高，以检验学生画高是否规范。）

……

（片段三）深入研究“高”，发展学生的空间观念

第一层次：探究三角形的高有三条

师：同学们我们继续观察这个三角板，（将底转换到另外两边）现在身高又如何？指一指，画一画

师：关于三角形的身高，你发现什么？

生：我发现有三条高和三个底。

生：我还发现所画的三条高都在三角形里面

生：我发现每条高都和对应的底互相垂直。

师追问：为什么会有三条高和底？

生：因为三角形有三个顶点，也就好像有三个头，所以三角形有了3条高，自然对应着3个底了。

师：真会思考！（板书三条高和底）

第二层次：探究三角形的高的位置变化（研究直角三角形和钝角三角形的高）

（1）出示直角三角形木板，不同底边上的高在哪儿？先想象，再请学生上前画一画验证。这样有一个直角的三角形你从中发现它的高又有什么特点？（不仅有三条高而且有两条高刚好在直角边上，两条直角边互为高和底）

（2）出示钝角三角形木板，问这样有一个钝角的三角形它像什么动物？（长颈鹿）现在能找到它的高吗？怎么画呢？（先延长底边再画高）另外两条高能想像大致在哪儿吗？对于有一个钝角的三角形的高你又发现了什么呢？（有两条高跑到三角形的外面了）

（3）想象提升

师：老师这里有两支笔大胆想象成三角形的两条边，还有一条边请想象补上使之形成一个三角形，高在哪里请比划出来。

底边不变，另一支笔与底边所组成的角逐渐变大，请学生不断的比划每一种三角形的高的位置。

师：现在不能转动三角形，如黑板上老师画的这个三角形，不像木板那样可以转动，如果想要画出另外两条边上的高该怎么画？

生：三角形不能转就转动三角尺也是一样的，只要高与底边互相垂直。

师：那好，现在请同学们在自己刚才画的那个三角形上画出另外两条高。要求：先想想高在哪儿，再快速的画出高来。

……

四、在实践中给我的收获

理想的数学课堂是学生发展的课堂，是学生在价值引领下的自主探究的过程，是师生互动的过程，也是以动态生成方式推进教学活动的过程。（特级教师徐斌语）纵观本节课的教学，我从生活中的身高形象引入三角形的高，让学生在操作中感知、实践中探究，深入浅出地经历了数学学习的全过程。主要有下面三个方面的特点：

（一）、关注生活经验，创设有效情境

生活是数学的宝库，生活中随处都可以找到数学的原型。教学心理学研究表明：儿童数学学习过程是建立在学生已有的知识基础和生活经验之上的一个主动建构的过程。小学阶段学生的思维还处于具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维为主，但是这种抽象逻辑思维能力仍然具有很大成分的具体形象性，这就决定了儿童数学必须是依赖外界可见可摸的数学；思维的形成，必须从外在的可见可做的活动开始。可见数学教学应关注学生的生活经验，创设有效的情境激发学生的求知欲。

生活中的“身高”与三角形的“高”之间具有共通点。学生以量身高的生活经验为背景去理解抽象的三角形的高，直观形象，这样将数学知识放在一个生动活泼的情境中学习探究，容易激发学生的学习兴趣。但是学生有“量身高”的体验，并未曾上升为经验。至于长颈鹿之类动物的身高也只是感知，即知道谁更高谁更矮。课前的聊天意在使学生在原有基础上提升，经历一次数学化的过程，丰富学生的数学活动经验，让学生明晰量身高要把握两点：一是从最高点出发量起；二是最高点到地面的垂直高度。当学生领悟之后，后面学生画高时就会明白为什么一定要从顶点出发做对边的垂线段了，解决了我第一次教学后学生产生的疑问。学生心中的疑惑解开了，而且用不着老师的说教去强调了，实现了有效教学。因此课前的谈话，虚则无意实则有意而为之，为学生沟通现实生活与数学知识之间的联系架起了桥梁，让学生在轻松的学习环境中去体验、感悟三角形高是恰到好处的。比起自己曾经试图利用抽象的概念去要求学生被动的理解要强得多。关注了学生的生活经验，也就为后面自主建构埋下了伏笔。

（二）、实施分层递进，实现自主建构

课程标准指出在重视结果的同时也要注重过程。的确学生接受任何新事物总有不断调整反思、顺应同化等一系列复杂的过程，不可能一蹴而就。因此本课教学中我采用分层递进式教学帮助学生建构，使学生通过动手操作，比划想象等活动充分地去体验、感悟、理解三角形高，发现三角形高的特征。

第一层次，认识高并会画高。主要将生活中具体可感的身高抽象到平面图上，建立标准图式的高，让学生经历数学化的过程。片段二里“这条线是随意的一条吗？有什么要求?”明确从顶点向对边做一条垂直线段，在学生初步感知三角形高的存在基础上，顺势揭示高和底的含义也就水到渠成了。有了生活“高”的支撑，加上“量身高”的活动经验和意义的揭示，学生画一条三角形的高就不成问题了，而且从中还渗透了规范画高的注意点。可以看得出学生参与度高，参与面广。但是三角形的高的理解不能仅仅停留于此，回顾自己曾经的课堂可以发现，课堂上虽然顺利地解决了教学，可是学生在练习中出现了很多问题。学生极易受到标准图式和平行四边形高的干扰，他们只相信高一定在里面，在边上和边外一时难以接受。鉴于此我设计了第二层次的教学，将教学引向深入，进行变式教学。

第二层次，研究三角形有三条高。在第一层次中部分学生已经隐约感知到三角形有三条高了，至于怎么会这样恐怕学生还一时说不明道不白，不敢确信罢了。此时教师的引导学生“转换一底边”探究恰恰使学生豁然开朗，学生的探究情绪高涨，坚定自己的判断了。“因为三角形有三个顶点，也就好像有三个头，所以三角形有了3条高，自然对应也有了3个底了。”学生的回答有理有据，自然而然的自主建构了。

第三层次，探究三角形的高的位置变化。有一个直角的三角形和有一个钝角的三角形出现，打破了学生的思维定势，使学生知道有一个直角的三角形其中有两组底和高恰好在直角边上，理解“互为高和底”；钝角三角形的高虽然教材不作要求，但我觉得今后在解决三角形和梯形的复杂面积问题时往往需要“边外高”，所以这里有必要加以引导。如何破解这个难题？“长颈鹿身高”的课前渗透起到了至关重要的作用。通过学生的积极交流，学生逐渐感受到有一个钝角的三角形的高有在外面的情况，而且要画出来还得延长底边。这样有效化解了“边外高”的难点，通过想一想、指一指、画一画等活动，加上学生以长颈鹿身高为依托，头脑中建立起了一定的“边外高”的表象，如此学生便会理解高为什么会在外面了。

（三）、整合多种策略，促进有效建构

本课的教学内容属于“图形与几何”的范畴，其核心价值在于发展学生的空间观念和几何直观。本课如果教学手段单一，仅仅让学生观察再画一画那是不够的。美国学者R••W••科普兰的《儿童怎样学习数学----皮亚杰研究的教育含义》指出：“儿童动作性的活动对于他理解空间思想具有无比巨大的重要性----儿童空间观念的演化是在两个不同的水平上进行的，知觉水平（即通过触与视的感性学习）和思维与想象水平，而且这两个水平不是从前一个水平到后一个水平，而且沿着各自本身的途径发展，教学中要注意把这两者的发展协调起来”。因此必须整合多种策略，才能促进学生空间观念的发展。

教学中重视观察、操作、想象、推理、表达的整合应用。如片段一中让学生上前指一指长颈鹿的身高在哪儿，其他学生观察明晰量身高要把握两点。如片断二中学生的回答----因为三角形有三个顶点，也就好像有三个头，所以三角形有了3条高，自然对应也有了3个底了，有理有据的推理与描述表达。再如片断三中“先想象，再指一指，最后画一画验证”；“把两支笔大胆想象成三角形的两条边，还有一条边请想象补上使之形成一个三角形，高在哪里请比划出来”，随着角度的增大学生不断的比划每一种三角形的高的位置变化；“不能转换三角形怎么办？”在学生的积极言语交流中，思考想象中，动手画图操作中，多种策略有效整合有助于学生在头脑里建立起三角形高的丰富表象，画高水平既快又准。后20%的学生再也不会出现拿着直角尺摆来摆去却又找不到高的尴尬境地。

经过再实践与再反思，认为数学教学应紧密联系学生的生活经验和活动经验，让学生理解、把握、描述现实空间，让学生通过实际操作获得丰富的感性经验，让学生在多种学习策略中自主建构，为培养学生的创新意识和发展空间观念奠定坚实的基础，使有效的数学课堂焕发出生命的色彩。