特级教师夏青峰经典教学案例（一）
1、怎样让学生经历数学的过程
数学新课标，无论是在前言部分，还是在目标部分，都多次提到了让学生“经历……的过程”。如何理解该理念，落实此要求？本人愿结合一些实例谈点体会，并求教于同行。学生有需要吗？
[案例1]《简单的统计》教学.
其间都有让学生走下座位采访听课老师的环节，但两位老师的处理方式不一样。
A教师说：“同学们，我们刚才已对全班同学进行了荤菜口味的统计，大部分同学都喜欢吃炸鸡腿。可是同时吃饭的还有我们的老师呀，成人的口味是不是和我们儿童的口味一样呢？大家说怎么办？（学生马上建议去采访老师）
B教师说：“同学们，我们刚才进行了一些统计活动，现在你们看，台下有很多老师，你们敢去采访他们，对他们进行一些统计吗？小组商量一下，我们可以去统计什么？”
同样是下台采访老师，一个是由于解决问题的需要而去采访和统计，一个是为了统计而去统计，哪一个效果更好呢？还是让学生的学习活动从需要开始吧！
[案例2]《平行四边形面积》的教学。
教师先进行了一些割补的渗透。尔后出示一平行四边形，引导学生求面积，求到面积后，也有两种不同的学习过程。
A教学：（平行四边形纸片，给出了底和高的数据。）
师：谁来说说你是怎么求的？
生：我把平行四边形象这样剪开。（拿着一平行四边形纸片，并演示）拼过来就是长方形了，这个长方形面积就是它的面积。
师：小组讨论一下，平行四边形的底与高和长方形的长与宽有什么关系？面积呢？
生：（讨论、汇报略）
师：所以平行四边形的面积就等于？
生：底乘以高。
B教学：（平行四边形纸片，没有给出数据）
师：谁说说你是怎样求的？
生：（汇报同A过程，加了一些进行测量的话，略）
师：好！你们都会求了！那再试试桌子上的第二块平行四边形纸片，它的面积是多少呢？看谁最快。
（生继续剪拼、测量）
师：谁再说说面积是多少？你是怎样做的？
生：（汇报略）。
师：咱们再比赛，看谁最快地求出第三块平行四边形纸片的面积。
（生继续剪拼、测量，有个别同学开始不剪，直接测量了。）
师：这位同学最快，你能说说你为什么会这么快？
（生回答，意思是不要剪，直接想象出长方形。略）
师：你在脑海中完成了拼剪的动作。好！再来一次，求出第四块的面积，看谁最快。
（大部分学生不再去剪拼，而是直接测量了。）
师：好！大家都快起来了！你们是怎样做的？
（生汇报略）
师：那也就是，只要测量出这个平行四边形的什么，就可以求出它的面积？
生：底和高。
师：为什么呢？
同样是推导平行四边形的面积公式，一个是在教师的引导下，通过观察得出的，另一个是在情急的状态下，急中生智，由学生自己想出来的，由于需要而主动地进行了比较，发现了规律。引导学生经历数学过程，就要多一些这些“迫切需要”的情景！
学生在体验吗？
[案例3]《长方体的认识》教学
A教学：（先认识生活中的长方体）
师：拿出你的长方体，观察一下它有几个面？面又有什么特征呢？
（生观察，并汇报）
师：再看看，它的棱又有何特征呢？
（生继续观察汇报）
师：长方体还有几个顶点？
生：8个。
师：谁来完整地说说长方体的特征？
B教学：（先认识生活中的长方体）
师：好！同学们都认识了长方体，那你能用橡皮泥做出一个长方体吗？
（生动手做，并展示、汇报和交流）
师：大家的长方体作品真漂亮。（出示一长方体框架）这是一长方体框架，你们有本事，也能把它给做出来吗？
（生动手做，并展示、交流。）
师：老师想请教一下，你们刚才用了几根小棒，用这些小棒有什么特别的要求吗？另外用橡皮泥捏了几个点呢？
（生汇报交流，师板书棱的有关特征。）
师：冬天到了，你能象老师这样，给框架穿上衣服吗？（出示一个用纸做面，包好了的长方体）想想看，应用剪刀剪出怎样的纸片？
（生操作、汇报、交流）
师：刚才剪出的纸片又有什么特点呢？
通过观察去认识与通过体验去认识，认识的深度是不一样的，参与的情感也是不一样的，留下的印象更是不一样的。
[案例4]《年月日》的教学
A教法：
师：同学们，拿出你的年历卡。数一数看，一年有几个月？一个月又有多少天呢？哪几个月是31天？哪几个月又是30天呢？
B教法：
师：同学们，你知道一年有几月，一月有几天吗？
（生汇报略）
师：真好！继北京申办奥运成功后，上海申办世博会又取得成功，全中国人都在期盼着2008年和2010年的到来，你能把2008年或2010年的年历卡提前设计出来吗？想想看，应注意些什么？
（老师提供出2008年和2010年的元月1日是星期几的数据。）
学生头脑中已有很多关于年、月、日的知识，如其让他们再对着年历去观察、去发现，还不如让他们先把已有的知识运用起来，在创造性的设计活动中去感悟、去体验很多新的知识点。
能再创造吗？
[案例5]《分数的意义》教学练习
A练习：
1、 是表示把（ ）平均分成（ ）份，表示这样（ ）的数。
2、判断：把一个苹果分成8份，其中的3份，占苹果的。
3、下面阴影部分的面积是整个图形的 吗？（图略）
B练习：
阴影部分是 吗？说明理由！
你能在下面的图形中表示出更多的 吗？
理解，是重要的。能够将知识创造性地运用，能够让知识不断地生成和发展，是一种更深层次的理解。
[案例6]《三角形的面积》教学练习
A练习：
1、求下面各三角形的面积（单位：厘米）
底 5 18 9 21
高 4 20 6 8
面积
2、下列三角形的面积是多少？（各个不同的三角形，给出底和高。图略）
B练习：
1、你能画几个面积为8平方厘米的三角形吗？试试看？
2、你能设计出几个面积为8平方厘米的平面图形吗？试试看？
代入数据的运用，与创造设计的运用，哪一个对学生的思维发展更有帮助呢？
[案例7]《圆柱体》教学总结
A总结：
师：今天我们学了什么知识？哪位同学能把今天所学的知识完整地总结一下？
（生总结略）
B总结：
师：今天这节课，大家表现得真棒。可惜今天张强同学生病缺席了，你们愿意通过电话把今天所学的内容告诉他吗？
生：愿意！
师：那想一想，怎样讲，才能让张强同学脑海中一下就能浮现出圆柱体的形象呢？还有哪些注意点要转告他呢？
知识不能简单地复制到脑中，要把书本知识转化为自己的知识并能创造性地表达出来，教师需要不断地提供机会。
［案例1］《11到20各数的认识》片段
一：创设情境，导入新知：
[电脑：机器猫]
师：小朋友，你们看，谁来了？
猫：小朋友，你们好，我叫小叮当，今天我想跟你们一快儿学习，你们愿意吗？
猫：太好了，我在学校里也是一个好孩子，已经得到很多小红花了，不信你们数数。
师：小朋友，我们一起来数一数小叮当得到了多少朵小红花，好吗？举起右手，一边打手势一边数。[数到10]
[电脑演示10朵花，第11朵打问号]
师：再往下数就要用到比10更大的数了，今天，我们就来学习比10更大的数，[课题：11—20各数的认识]然后再帮小叮当把小红花数完。
二、实践操作，初步认识11—20各数。
1、建立计数单位“十”的概念。
师：老师为你们每人准备了一些小棒，就在小盆里，数一数你有几根小棒，在桌上排成一排。（小盆里都是12根小棒）
学生汇报，指名2人把小棒拿到讲台上数一边。……
思考：
1、很多时候，我们都注重创设情景，激发兴趣，引出课题。但是正当学生饶有兴趣的时候，我们的教学却嘎然而至，匆忙把学生引入另外一个话题。教学中，我们能否把一个话题做充分一点，以问题为出发点，让孩子切切实实地去解决问题，而不是素材变来变去。为什么这样变，只有教师知道，学生反正跟着后面跑。
2、无疑，数到10，对于学生来说是旧知识了。但是数到11、12，就一定是新知识吗？书本上是新知识点，但孩子的认知结构却未必如此。如果我们试着让孩子数下去呢？至少我们会了解他们真实的知识储备。从孩子的实际出发教学，需从每个细节做起。
3、什么是有价值的数学？
价值是抽象的、相对的和发展的，我们很难给有价值的数学下个准确的定义。但是通过对一些案例的比较分析，我们或许可以从中找到一些启发与感悟。
一、 是目的，还是手段？
[案例1]《求两数相差多少的应用题》教学
（老师出示例题：草地上有9只白兔，5只黑兔，白兔比黑兔多几只？）
A教学：
师：同学们会列式吗？谁来试试？
生：9－5=4（只）
师：真好！（板书）谁能说说这里的数字9表示什么吗？
生：9表示9只白兔。
师：不错。那5表示什么呢？
生：5表示5只黑兔。
师：同学们，这里的5并不是表示5只黑兔，而是表示5只白兔。
（学生有些诧异）
师：我们看：这里面是把谁和谁在比？
生：白兔与黑兔。
师：是的。因为白兔多，所以我们可以把白兔分成两部分：一部分与黑兔同样多的部分，另一部分就是比黑兔多的部分（教师在黑板上分别贴上示意图）
（学生跟着老师重复刚才上面的话）
师：这道题要求白兔比黑兔多几只，应该怎样想呢？
生：9减5
师：就是把9只里，去掉哪一部分，剩下的就是白兔比黑兔多的只数？
生：同样多的部分。
师：也就是从9只白兔里面，去掉与黑兔同样多的5只白兔，剩下的就是多出的只数了。
师：所以这里的5，表示的是与黑兔同样多的白兔，而不是黑兔。明白了吗？
谁来说说看？
……
B教学：
师：谁知道多几只？
生：多4只。
师：你怎么知道的呢？
生：5只再加上4只就是9只了。
生：从9里面去掉5，就剩4了。
生：……
师：如果要列成算式，该怎样写呢？
生：9－5=4
生：5＋4=9
师：如果换成6只白兔与12只黑兔呢？
生：……
师：如果是3朵黄花与8朵红花呢？
生：……
师：你们自己也能改换一下数字和东西吗？
生：……
师：做了这些题目后，有什么体会吗？
……
如果我们关注数学的结构与算理多于关注孩子们的认知现实，如果我们总试图训练孩子们的“专家思维”，那么“老师不教我还会，老师越讲我越糊涂”的现象就会逐渐增多，所谓的“数学差生”也就普遍了。本来为孩子们发展服务的数学，竟然让孩子们越学越玄乎……摈弃那些人为的“烦琐分析”，让数学回归本真与简单吧。有价值的数学一定能够给孩子们带来信心与乐趣的。
二、 是别人的，还是自己的？
[案例2]《退位减法》教材
教材上出现题目：34减8得多少？
题目下面写出算式：34－8=□。并在旁边有段提示语言。
A提示语言：
想：4减8不够减，要把34分成20和14。先算14减8，得□；再把20和□合起来，得□。
B提示语言：
1：你觉得34－10=24，能帮助你吗？
2：你觉得8＋6=14，能帮助你吗？
3：你觉得从8数到34，能帮助你吗？
[案例3]《三角形的面积》教学
A教学：
师：请用数方格的方法求出下面三角形的面积。
学生数方格并汇报。
师：数方格是计算图形面积的一种方法，但它毕竟不方便。我们能否也像求平行四边形面积那样，把三角形转化成其他图形来求它的面积呢？
请对以下问题进行小组讨论与合作：
1、 用两个三角形拼在一起，能拼成一个什么图形？
2、 拼成的图形与三角形的底、高和面积的联系是怎样的？
3、 怎样求三角形的面积？
B教学：
师：今天咱们一起研究三角形面积的计算方法。大家手上都有三角形的纸片，你们能想办法求出它的面积吗？
提示：
1、 我们原来学过哪些求面积的方法，它对我们有帮助吗？
2、 我们原来学过哪些图形的面积，它对我们有帮助吗？
3、 今天我们还可以想出哪些方法求图形的面积呢？
数学的价值不在模仿而在创新，数学的本质不是技能而是思想。数学学习的过程不能只是一个遵照指令进行程序操作的过程，而是一个不断地运用自己的知识经验进行自我建构的过程。学生需要的，不是去复制别人的数学，而是去建构自己的数学。
[案例4]《面积》教学
A教学：
师：同学们，摸摸课桌的表面和书本的表面，感觉谁的表面大？
生：课桌的表面大。
师：是的，物体的表面有大有小。物体表面的大小就叫做面积。感觉一下文具盒上面的面积有多大。
学生用手摸文具盒的上面。
师：（在小黑板上出示一个正方形与一个长方形。）这两个图形谁大呢？
生；长方形大。
师：是的。围成的平面图形也有大小。围成的平面图形的大小也叫面积。
学生跟老师把这两句话读一遍。
师：能把这两句话合在一起说吗？谁试试？
生：物体表面或围成的平面图形的大小，就叫做面积。
师：谁再来说一遍？
……
B教学：
师：同学们，摸摸课桌的表面和书本的表面，感觉谁的表面大？
生：课桌的表面大。
师：对，我们也可以说成是课桌表面的面积大。课桌面的面积与椅子面的面积谁大呢？
生：……
师：在这教室里，有什么物体面的面积比课桌面的面积大吗？
生：……
师：举例说说看，在这教室里，哪些物体面的面积比较大，哪些物体面的面积比较小。
生：……
师：再举举教室以外的例子。
生：……
师：怎样比较下面两个图形面积的大小呢？
（出示一个长方形与一个正方形）
生：……
师：大家拿出你们的中国地图，看看我国哪个省的面积最大，哪个省的面积最小。好吗？ 特级教师夏青峰经典教学案例（三）
4、数学是什么？
相信很多数学老师都这样问过自己：数学究竟是什么？作为一个数学老师，如果这个问题都回答不了，好象有点说不过去。但是谁又能真正说清楚数学是什么呢？美国数学家柯朗在他的《数学是什么》的书中说道：“……对于学者，对于普通人来说，更多的是依靠自身的数学经验，而不是哲学，才能回答这个问题：数学是什么？”的确，我们很难给数学下一个准确的定义，就让我们在对一些案例的思考中去慢慢地揣摩数学的内涵吧。
一、是客观，还是主观？
[案例1]“含有未知数的式子叫方程。”判断错误，应把“式子”改为“等式”才对，我们一直这样教学生、考学生。可这样改，就是绝对真理了吗？我们从未思考过。张奠宙先生曾在《小学数学教师》上撰文说：“其实，含有未知数的等式叫方程，也并非是方程的严格定义，它仅是一种朴素的描写，并没有明确的外延，是经不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必准确，实际上应是‘条件等式’才对。因为含有未知数的恒等式不是我们要研究的方程，例如，x－x=0，对一切x都对，何必解呢？反过来，把解‘含有未知数的不等式’，称之为‘解不等式方程’，也可以说得通，无非是大家约定俗成而已。”看了这段话，我们有何感想？
[案例2]“圆周长的一半等于半圆的周长”。判断错误。可是，究竟什么是半圆呢？如果说圆是一条定点到定长的封闭曲线，那半圆不就是这曲线的一半，这不正好是圆周长的一半吗？把直径纳入进去形成半圆，不就承认圆是一个块而不是线了吗？有一天，我突然醒悟并为此感到兴奋，并和老师们交流，老师们也大呼其对。可是过几天，我还是不放心地去翻了《数学大辞典》，它明确告诉我“半圆就是半条弧和直径所组成的图形”。我空欢喜了一场。这个知识点其实是次要的，关键是我们花了那么长时间，去让学生搞懂连自己也不懂的东西，其价值何在呢？
[案例3]“0”一直是整数而非自然数，为这，老师和学生们都没少费脑筋，可现在“0”也加入了自然数的行列；“5个3是多少？”也可以写成“5×3”了；“把6个桃平均分成3份”，操作时，直接拿2个放在一个盘子里，也不说你是科学性错误了。难道数学是可以改变的吗？
[案例4]9月1日，我去随班听课。先是听五年级的数学课，内容为小数乘法的意义。老师花了很大力气去让学生搞清：4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少，4×0.5是表示4的十分之五是多少，4×1.5是表示4的1.5倍是多少。有些学生还是有些糊涂，教师便帮助他们总结规律：要看后面的数是大于1还是小于1。小于1的，就是表示这个数的十分之几、百分之几是多少……大于1的，要看是整数还是小数，是小数的，就是几倍；是整数的，可以有两种表示方法……学生更糊涂了。第二节课去听六年级数学课，正好是分数乘法的意义。又出现了上述情形，只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？如果无关大雅的话，把4×0.5说成4的0.5倍又何妨呢？！至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。
袁振国教授说：“数学就是人们的一种主观建构，从某种程度上说它就是无中生有。”我们不能动摇数学的客观性，但我们也应该关注到数学的主观性。在关注数学事实的同时，更应该关注孩子的数学经验。让数学从静态走向动态，从客观走向主客观的结合……
二、是形式，还是实质？
[案例5]一年级数学课上，老师让同学们做课本上的一道题。题目是看图列式，左边图上画了一棵大树，树上有5只鸟，树的旁边又画了3只鸟（头朝树）。学生当即写出算式：“5＋3=8”，表示“树上有5只鸟，又飞来3只鸟，一共有8只鸟。”右边图上也画了一棵大树，树上有5只鸟，树旁边有3只鸟，只不过这3只鸟的头的方向是远离树。学生也当即写出算式：“8－3=5”，表示“树上原来有8只鸟，飞了3只，还剩5只。”在一切进行的很顺利之时，一个小朋友站起来说，他列出的算式也是“5＋3=8”。老师很不高兴：“难道你没看见小鸟飞的方向吗？头朝左边，就表示加，头朝右边就表示减……”关键的是这种现象并非个别。在教学中，我们老师做过多少次这种人为的规定啊！“实线就表示合并，虚线就表示去掉”、“看见总共就加，看见剩下就减”。本来简单的数学，变得越来越复杂……
[案例6]教过《三角形认识》的老师都知道，在这节课上我们第一个要煞费苦心的，就是让学生懂得三角形是由三条线段围成而非组成的图形。为了“围成”与“组成”，我们往往要花去很长的时间，并常常为此设计而津津乐道。反思一下，如果我们不去区别“组成”与“围成”，或者说不把“围成”突出来讲，学生难道就会把“没有连接在一起的三条线段组成的图形”看成是三角形吗？我看百分之百不会。数学课上，我们往往喜欢教语文，喜欢去咬文嚼字，看似深挖实质问题，实际是渐离实质。对于一个概念的学习，我们不能只注重它的定义，我们更应该重视的是帮助学生形成丰富与清晰的心象：学生能画出多少个形状不同的三角形，学生能自主地在这些三角形中找出相同的特征并把它们归类吗？一提到钝角三角形、等腰三角形，学生的头脑中就能浮现出各种表象吗？
为什么学生作业中经常会出现“小明身高1.5厘米”等数学笑话？因为我们对定义的关注，也许超过了对心象与它所代表的实际意义的关注，而后者的重要性要远远大于前者。
三、是封闭，还是开放？
[案例7]48×53怎样计算？列竖式，先从个位乘起……我们有一套法则，我们很熟练它，但却根本不知道还会有别的算法。其实，下面的这几种方法都可以计算出它的结果：
48 48
×53 ×53
—— —— 2024 24
12 12
40 40
—— 20
2544 ———
2544
面对数学，我们千万不能认为自己的方法就是唯一的。教学数学，我们一定要积极地鼓励学生从多个角度去思考问题。让数学走出封闭，走向开放。
[案例8]在《分数的意义》教学中，我们通常都是从复习平均分开始，然后逐渐地引导学生把一个饼平均分成2份，表示每一份的分数；把一条线段平均分成3份，表示每一份的分数……步步为营，一层一层地引导下来。如果我们在课的一开始，就让同学们自己随便写一个分数，然后联系生活实际用这个分数说句话，或直接说说这个分数所表示的意义，可以吗？完全可以，在开放的、具有挑战性的又联系实际的问题情景中，学生的兴趣只会更高，思维更活跃。
我们不能老是让学生接触封闭的数学（条件唯一，答案唯一）。数学的魅力在哪里？在于数学的探索性与想象力。只有充满着想象的数学，才会深深地吸引着孩子。
某水果店有以下三种苹果（每千克2元、每千克4元和每千克5元），用40元钱可以买多少千克苹果？
某种苹果每千克2元，用40元钱可以买多少苹果呢？100元呢？
试比较以上两道题，谁的魅力更大呢？
5、怎样从学生已有的生活经验出发进行教学
数学新课标在其前言中，就强调要从学生已有的生活经验出发进行教学。教学中，如何落实？本人愿抛砖引玉，以求教于同行。
一、 尊重
[案例1]《百分数的意义》教学
讲台上放着三个透明杯子，里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖，糖的数量依次为2克、3克和5克。
师：怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢？
（生说。）
其中有一个学生：让我上来喝喝就知道了。
教师A：你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说？
教师B：很好！这种方法最简单易行了。除了用口尝外，我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢？
[案例2]《找规律》教学
屏幕上出现一幅图画。商店门口挂了很多灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着。其中一部分被一辆停在商店门口的汽车给遮住了。
师：你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？
（生说）
其中有一个学生：只要把汽车开走就知道了。
教师A：（没理睬这位学生）哪位同学再来说？
教师B：对啊！只要把汽车开走，不就都清楚了吗？！在汽车还没开走之前，我们也能看出来吗？
两个案例都注重了从学生的生活经验出发。但是在具体的处理过程中，A教师与B教师对生活经验的认识还是有差距的。A教师注重的还是知识的内在逻辑体系，而忽视了学生的情感状态以及经验状态。从学生的生活经验出发，首要的一条就是要尊重学生的生活经验。让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧：“儿童回答教师提问的精确性，主要取决于儿童自己的经验的逻辑性，而不在于事物本身的逻辑性。”
[案例3]《除法的初步认识》
A教学：
师：把6个桃子平均放到3个盘子里，该怎样分呢？
仔细观察课本上的插图，你能用小棒代替桃子，也试着这样分分吗？
（生用小棒分）
师：同学们看，把6个桃子平均放到三个盘子里，要一个一个地分。先拿3个桃子分别放到3个盘子里，然后再拿三个桃子……
B教学：
师：这有6个桃子，要平均放到3个盘子里。你会放吗？
用小棒代替桃子，试试看！
（生用小棒放）
师：谁来说说，你是怎样放的？
生1：我是先拿2个放在一个盘子里，然后再拿2个放在第二个盘子里……
生2：我是拿起6个小棒，然后一个一个地放到盘子里去……
生3……
师：放的方法，我们可以多种多样，但是结果都应是怎样的呢？
从生活经验出发，指的是学生自己的生活经验而非教师的生活经验，更不是教师的“教学经验”。要尊重学生的经验，让他们尽可能地把经验充分地表达出来，而不是一开始教师就规定好了“前进的路线”，让学生的经验与学习相隔离。
二、激活
[案例4]《比例尺》的教学
A教学：
师：同学们，什么是比例尺呢？请看这幅地图。这两个城市之间的距离，实际上是有500千米，而图上的距离却只有2厘米。……
B教学：
师：同学们，观察一下咱们的课桌面是个什么样的形状。你能把它画在纸上而不走样吗？我们来个比赛，看谁画得又快又好，愿意吗？
生：愿意。
师：什么才叫不走样呢？
生回答。
师：怎样才能不走样呢？……
知识是有一个体系的，但它的表现形式却不一定要那么严肃和充满逻辑。尽可能地对教材进行一些加工处理，让学生的学习从熟悉的生活开始，可以使学习过程更加亲切些，更加具有挑战性些。
[案例5]《圆的认识》教学
A教学：
师：请同学们拿出桌子上的圆形纸片，把它对折，再对折，再连续对折两次。然后打开。你发现了什么了吗？
生：发现了很多折痕。
生：这些折痕都经过一个点。
……
师：用笔把这些折痕描出来。量量看，这些线段的长度都相等吗？
生量后，回答：都相等。
师：这些线段，我们称它为直径。直径有哪些特征呢？
……
B教学：
师：同学们都认识了圆。那你们能想办法画出一个圆吗？
生画。有的用硬币、墨水瓶、钢笔套等作为工具画。也有的用圆规作工具画。
师：好！一会儿工夫，大家就画出了一个个漂亮的圆形图案。你们是怎样画出来的呢？愿意交流一下吗？
生交流。
师：真不错。老师这里有这样两条线，用它也能画圆吗？
（学生建议。）
师：好！我就来试试看。（用一条皮筋线系上粉笔，在黑板上画圆，有意让皮筋一会儿长一会儿短）
师：同学们，不行啊！这画出来的是圆吗？
（生建议。长度要固定……）
师：那老师换一根线。这次再试试看。
（有意拉拉，长度不变。再画，故意移动定点）
师：同学们，还是不行啊！
（生建议。）
师：老师明白了，画一个圆时，至少要注意两点……
……
在此基础上，总结画圆的要领，并引出圆心、半径和直径。
有效的学习总是在经验的基础上进行的。教学的过程，就是要成为不断地激活学生经验的过程。只有在具有一定的自主空间里，只有在不断地对话和刺激中，学生沉睡的经验才有可能被唤醒而处于积极状态，不断地同化、调整或重构。
[案例6]《分与合》
A教学：
师：小朋友，7可以分成几和几呢？
生：7可以分为2和5；
生：7可以分为3和4；
……
师：很好！跟老师读，7可以分为2和5……
B教学：
师：小朋友，帮老师思考一个问题。地上放着两只盘子，里面放了些米。现在有7只小鸡去吃米，想象一下，小鸡吃米可能会有哪些种情况呢？
你能在纸上画出来吗？
生画。
师：咱们交流一下。
生1：一边4只，一边3只；
生2：一边6只，一边1只；
生3：一边7只，一边0只；
……
师：小朋友们真聪明。现在这7只小鸡吃饱了肚子，要坐到这桌子边休息了（出现一张长方形的桌子）。你们猜猜，它们坐的情况可能是怎样的呢？
……
数字是抽象的，但与实际生活联系起来，它就会变得活泼可爱起来了。给数字赋予生活的意义（最好是“拟人化”的），让孩子对数学的理解多一些形象上的依托，也许我们的数学会容易和有趣得多。
三、提升
[案例7]《角的初步认识》
师：同学们已经初步认识了角。生活中哪些地方有角呢？
生：黑板上；
生：钟面上；
……
生：还有墙角、桌角。
A教师：那是角吗？请你再看看书上是怎么说的。搞清楚后，再回答。
B教师：你看这位小朋友可真会联想。讲到角，就想到了我们的墙角和桌角。这可是我们日常生活中经常用到的词语啊！
让我们来观察比较一下，这里的角和我们今天学习的角，有没有什么不同呢？
生观察并说。
师：是啊！它们两者有很多相似的地方，但也有很多的不同。我们看，从一个墙角上，可以看出几个和我们书上画的一样的角呢？
生：三个。
师：从一个桌角上看呢？
生：也是三个。
……
学生头脑中已经有着许多和“学校数学”内涵不同但名称相同的概念，有着很多被称为“日常数学”或“民俗数学”的知识。从学生的生活经验出发，就必须要研究这些知识，了解孩子们已有的实际认知结构，并努力地促进二者的相融，不断地提升学生的生活经验。
[案例8]《加和减》的教学
师：13-9等于多少呢？小朋友们算算看。
生算。
师：谁愿意来交流一下？
生1：我一个一个地去减，最后剩下4个；
生2：我先从10个里面减去9个，……
生3：我先减去3个……
生4：因为9+4=13，所以……
……
A教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。好，就按照你们喜欢的方法，再计算下面的题目：15-9 17-9
B教师：小朋友们真聪明。每个人都有自己的方法。这些方法中，哪种方法算起来更简单些呢？谁来说说。
生说。
师：小朋友们都发表了各自不同的意见。这样吧，老师有个建议，下面这道题（15-9），你们试着用三种不同的方法去算，然后再看看自己最喜欢哪种方法，好吗？
……
提倡算法多样化，在某种程度上就是要给每个孩子以更大的空间，将自己的算法个性化地表达出来。这种个性化的算法，与孩子的经验是紧密相联的。但教学如果仅仅停留在这一点上，是远远不够的。试想，一个孩子如果不去思考、比较和体验其他同学的算法，而只是满足于自己的最初经验之上，他的思维能得到发展、能力能得到提高吗？
从经验出发的同时，还需思考怎样让经验得到提升，这是数学的本质所在。
特级教师夏青峰经典教学案例（五）
5、怎样从学生已有的生活经验出发进行教学
数学新课标在其前言中，就强调要从学生已有的生活经验出发进行教学。教学中，如何落实？本人愿抛砖引玉，以求教于同行。
[案例1]《百分数的意义》教学
讲台上放着三个透明杯子，里面分别放了10克、20克和50克的水。老师用汤勺向三个杯子里加糖，糖的数量依次为2克、3克和5克。
师：怎么样才能知道哪个杯子里的糖水更甜些呢？
（生说。）
其中有一个学生：让我上来喝喝就知道了。
教师A：你就知道喝。老师是让你用数学的方法去判断。哪位同学来说？
教师B：很好！这种方法最简单易行了。除了用口尝外，我们还能用什么方法知道哪个杯子里的水更甜些呢？
[案例2]《找规律》教学
屏幕上出现一幅图画。商店门口挂了很多灯笼，红、黄、蓝三种颜色有规律地排列着。其中一部分被一辆停在商店门口的汽车给遮住了。
师：你能知道被汽车挡住的灯笼，分别是什么颜色吗？
（生说）
其中有一个学生：只要把汽车开走就知道了。
教师A：（没理睬这位学生）哪位同学再来说？
教师B：对啊！只要把汽车开走，不就都清楚了吗？！在汽车还没开走之前，我们也能看出来吗？
两个案例都注重了从学生的生活经验出发。但是在具体的处理过程中，A教师与B教师对生活经验的认识还是有差距的。A教师注重的还是知识的内在逻辑体系，而忽视了学生的情感状态以及经验状态。从学生的生活经验出发，首要的一条就是要尊重学生的生活经验。让我们牢牢记住前苏联教育家阿莫纳什维利的一句话吧：“儿童回答教师提问的精确性，主要取决于儿童自己的经验的逻辑性，而不在于事物本身的逻辑性。”
6、怎样促进学生的自主探索
自主探索是学生学习数学的重要方式之一。在认识上，很多教师对此是比较赞同的。但在行为上，我们往往还处于困惑状态：教师究竟怎样做，才能有效地促进学生的自主探索呢？本文愿结合案例谈一点粗浅的想法，以期得到同行的指正。
起点在哪？
[案例1]《分数的意义》教学片段：
课始。
A教学：
师：把4个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生：2个。
师：把2个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生：1个。
师：把1个苹果平均分给两个同学，每位同学分得多少苹果？
生1：半个。
生2：……
生3：12 。
师：象这样，结果不能用整数表示的时候，我们就可以用到分数。今天，我们就一起来研究分数的意义。
……
B教学：
师：今天咱们要一起研究分数的有关内容。关于分数，我们都知道了些什么呢？
（生纷纷站起来说）
师：关于分数，我们还想知道些什么呢？
（生再次纷纷站起来说）
师：看看书上又给我们带来哪些有关分数的知识。
（生看书）
师：咱们交流一下，通过看书，我们又获得了哪些新的知识。
（生交流）
师：除了这些，我们一定还有很多困惑、不清楚的地方。咱们也说出来，交流交流好吗？
（生交流不懂的问题）
师：大家对分数已经有了进一步的掌握。咱们来进行一下自我检测。
……
我们的教学，不能总是“零起点”。促进学生的自主学习，首先要努力让孩子们把自己的已有知识状况展现出来。让他们在面对新知时，自己主动去回忆、调动已有的认知结构，并对新知产生构想。同时，在交流的过程中，大家相互启发和激励，享受已有知识给自己带来的自豪感。并在对新知构想的过程中，产生自主探索的愿望。
[案例2]《长方体表面积》的教学
A教学：
一、 复习：
1、 求出下面长方形和正方形的面积。（略）
2、 口答：长方体有几个面？每个面是什么形状的？
二、 新知教学：出示例题（略）
师：要求这个长方体的表面积，实际上就是求哪些面的面积呢？
……
B教学：
课始。
师：同学们，拿出你的长方体文具盒。谁的文具盒用料面积最大呢？请想办法拿出你最有力的证据。在小组中交流一下。
……
我们总是在精心设计好复习题，找准知识的生长点和连接点，把学生已有的旧知慢慢地调动出来。但是孩子们长大后，谁去帮他设计复习题呢？要让学生很好地进行自主探索，就要让他们直接面对问题情景，去进行大胆尝试。只有在实际的尝试运用中，学生才会真正明白自己“在做什么”和“想做什么”。
空间多大？
[案例3]《两位数减一位数》教学：
A教学：
一、 口算：15-7= 10+8=
二、 出示例题：25-7=
（教师让学生尝试解答后汇报，结果大多数学生的算法都是：把25分成15和10，15-7=8，10+8=18）
B教学：
直接出示例题：25-7=
（学生尝试解答后，出现了多种解法）
[案例4]《简单的统计》教学
A教学：
教师给每个学生发了一张班级学生年龄情况的统计表格。表格上面的年龄段均已划分好。然后让学生轮流站起来报自己的岁数，全班同学在相应的表格栏里画“正”。
B教学：
教师给每个学生发了一张白纸。要求同学们统计出班上的年龄情况。怎样才能知道每个人多大岁数呢？通过讨论，决定让班上的同学轮流站起来报自己的岁数。用什么方法统计呢？老师没有明确，要求自己想办法。一轮结束后，大家交流结果与方法，并相互评价。
给学生进行铺垫，看似明确了思维指向，提高了学习的效率。实质上是设置了思维通道，缩小了孩子探索的空间。只能勉强地说学生“学会”了，但离“会学”还是很有距离的。
[案例5]《异分母分数加减法》的教学
A教学：
出示例题34 + 25 =
师：这两个分数能直接相加吗？
生：不能。
师：为什么？
生：因为分数单位不同。
师：能把它们的分数单位转化成相同的吗？
生：能。
师：怎么转化？
生：通分。
师：怎样将这两个分数通分呢？
……
B教学：
出示例题34 + 25 =
师：这道题该怎样计算呢？每个同学先试试看。
（生尝试）
师：谁来说说你是怎样想的、怎样算的？
生说。师生对这种算法相互交流和评价。
师：谁还有其他的想法了吗？
……
还给孩子自主探索的空间，首先要摈弃一种“打乒乓式”的问答。在琐碎的、一对一式的问答中，学生的思考永远是被动的，永远是被老师牵着在走。如同“猜谜”，学生只会不断地猜测老师的意图。
效果如何？
[案例6]《比的基本性质》教学
A教学：
出示三个比： 2：4 4：8 6：12
师：请大家求出这三个比的比值。
生计算。并汇报结果，比值都是等于0.5。
师：也就是说，这三个比之间可以画等号了。2：4=4：8=6：12
从左往右，仔细观察一下这三个比，它们的前项、后项分别发生了怎样的变化？你能得出一个规律吗？
……
B教学：
出示三个比： 2：4 4：8 6：12
师：观察一下，这些比有哪些相同的地方？
（生说）
师：哪一个比的比值最大呢？
（生说，最后得出三个比的比值相等）
师：你还能写出很多比值为0.5的比吗？看谁写的又多又快。
（生写出很多。汇报交流）
师：只要怎样，就可以写得又多又快呢？
（生……）
师：比值相等的比，是不是只有这样的一组呢？
生：不是！还可以写出很多组。
师；好！谁来说一个比，大家再写出几组与它比值相等的比。看谁写的多。
（一生说一个比，其他同学马上写，再交流）
师：自己随便写一个比，看能不能也能写出一些和它比值相等的比。
（生写，交流）
师：我们写出了很多比值相等的比，从中我们可以得出一条什么规律呢？
……
当学习材料缺乏思维的挑战性，研究的目标是显而易见的时候，学生探索的兴趣和动力就不会太强。只有通过竞赛等形式，激发起学生的挑战欲，让学生进入紧张的思维状态，让探索成为一种需要时，学习的效果才会是好的。改被动地观察，为主动地探索，让学生在“创造”数学的过程中“体验”数学，而其中教师的引导作用也是非常重要的。
[案例7]《利息》的教学
课始。
教师A：这节课咱们学习利息这一内容。什么是利息呢？请同学们看书上……
教师B：这几天，大家已经收集了很多关于利息的知识材料。这节课，咱们就来个交流，好吗？
课末。
教师A：通过这节课的学习，咱们知道了什么叫利息，以及利息的计算方法。课后作业为书上练习……
教师B：这节课大家交流得非常好！利息的知识，除了我们今天交流的这些以外，还有很多方面值得我们去关注。老师建议，大家可以用这些知识，办个小报，开辟一个网站，和我们全校的小朋友进行交流。也可以自己去体验一下存款和取款的过程……
学习的效果，不能仅仅限于了解了什么，更重要的是学生是怎样了解的。自主探索的空间，也不能仅仅局限于课内。课堂之外的自主探索具有更为深远的意义，课内课外的一体化是数学教育应孜孜以求的目标。7、怎样促进学生的合作交流
合作交流是学生学习数学的重要方式之一，其意义和价值已经被很多老师所接受。但怎样摈弃形式主义，充分发挥合作交流的效应，仍是小学数学教学改革所关注的热点和难点问题。本文拟结合案例，谈点体会，以期得到专家和同行的指正。
一、 是主动，还是被动？
[案例1]《平面图形面积的复习》教学片段：
课始。
A教学：
师：我们以前学过很多平面图形的面积计算公式，你们还记得吗？
生：记得。
师：好！在小组中交流一下这些计算公式。
于是，每个同学都开始说起来，教室里很热闹！
……
B教学：
师：右图是老师家中一扇门的平面设计图。
现在老师想要油漆这扇门，除了装玻璃部分、装门锁部分以及下面的三个图案部分外，其余部分均要涂上米黄色的油漆，涂米黄色油漆部分的面积该是多大呢？咱们来一个小组擂台赛，看哪一个小组最先算出它的面积。
于是，各组马上行动起来。相互讨论，分工合作……
[案例2]《分数的意义》教学片段
学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。
A教学：
师：大家手上都有6根小棒。你们能拿出其中的2/3吗？
生动手操作。
师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。
B教学：
师：大家手上都有一些小棒，试着按要求拿出其中的一部分。要求是：每组从第一位同学到第六位同学，拿出的小棒分别占原来手中的1/2、1/3、1/4、1/5、1/6、1/7。
不能损坏小棒。看那组最迅速。
学生开始拿。有的很快地拿好，有的开始小声议论。
师：有困难吗？
生1：1/5不好拿。
生2：1/7也不好拿。
师：是啊！一边少了一根，一边多了一根。最好怎么办呢？
（生……）
师：好！同组内的小棒可以相互借调。再试试看。
（生活动。）
师：哪个小组愿意来交流一下，你们的1/4是怎样得到的？
学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。怎样激发学生合作交流的积极主动性？我感觉有两点值得我们去关注：
1、让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。案例1的A教学中，回忆面积计算公式，对于学生来说，根本没什么困难。每个人都能说出几个，所以每个人都会迫不及待地说，小组中要么是只有“说”没有“听”，要么是前面一个人说过，后面的人都在重复他的话。而B教学中，由于看懂平面设计图，并不是每个人都行的，其间只要老师注意还给孩子们一个宽松的环境，小组成员之间必有讨论甚至争论产生。案例2也是如此，从6根小棒中拿出2/3，只有1种拿法，让他们交流什么呢？只会不断地重复。而要从6根小棒中拿出1/4、1/5、1/7来，却是个伤脑筋的事。老师建议重新调剂，怎样调剂呢？小组成员之间必然要交流和合作。特别是拿出1/4，需要拿1/2的同学将6根改为4根，其间的讨论一定会热烈。“方便别人，也就方便了自己”，在这里不是很好地得到了体现吗？！
2、以组际竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。两个案例的B教学，都引进了小组之间的竞争机制，这样就会促使小组成员之间主动地采取分工合作的方式，而无须再由老师去安排合作，组织交流。试想，在案例2的B教学中，如果老师说的是“看哪位同学最快？”，他们之间的合作交流状况将会如何呢？所以在小组学习后全班交流的时候，老师关注的一定要是小组的整体意见而非个人。评判也应以小组为单位。
二、是形式，还是实质？
[案例3]《循环小数》教学片段：
学习完循环小数的概念后，出示下列七个数：
①5.2 ②3.444…… ③3.08181…… ④9.87676 ⑤9.7676……
⑥9.4303208…… ⑦3.1415926……
A教学：
师：观察这些数，哪些数有相同的特征呢？小组开始讨论。
生开始在小组内讨论。不到一分钟。
师：（拍了几下手掌）好，时间到！谁来说说，哪些数具有相同的特征？
生1：……
生2：……
……
师：这几个同学刚才说得都非常好！我们看……
B教学：
师：仔细观察这七个数，你能发现什么呢？
有些数具有相同的特征吗？
生1：①和④的后面都没有省略号，而其他各数后面都有。
师：真好！就象这样，还能发现其他的特征吗？把具有相同特征的数写在一起。同时思考两个问题：
⑴你能根据它们的特征，分别给它们取个名称吗？
⑵你能用画图的形式，把这些数的关系表现出来吗？
生开始独立地想、写和画。
师：好！小组长组织一下，每位成员把自己的思考在小组中交流，集中成小组意见。等会我们看哪个小组取的名字和画的图最好！
小组开始讨论，确定最佳方案。
师：哪一小组愿意交流一下你们的名称和图案……
小组1代表：我们认为……
在现在的课堂教学（尤其是研究课）中，合作交流的学习方式常常是以小组学习的形式体现出来的。而小组学习应有什么样的机制才能保证它的实效呢？我感觉不能有统一的规定，教师只要经常深入到小组中去，每个人都会探索出自己的成功之路来。但有几个共性的东西应要引起我们的注意：
1、学生在合作交流前，经历过独立思考吗？就象A教学中，要从这七个数中，看出几个数之间相同的特征，必然要有一点观察、比较和思考的时间。大家都还来不及思考，就去讨论，讨论什么呢？结果是反应快的同学，马上就说出来，而反应慢的同学在未思考之际，就已经听见了其他同学的发言。长期下去，反应慢的同学思维的惰性会越来越强。而且，每个人的思维特征不一样，有人是“场独立性”思维，有人是“场依存性”思维，在讨论交流之前，让学生去独立思考，有助于这两种思维的相互促进和融合。
2、学生在合作交流时，有充分的时空吗？我们提倡，提供给孩子们合作交流的问题，要具有探索性。而在探索性问题的解决中，学生应有一定的自由时空。象A教学中，老师在不到1分钟的时间内，就让学生讨论这样具有一定思维要求的问题，显然是形式主义。只是让别人感觉这节课安排了小组讨论的内容，而在内心中并不指望学生讨论出什么，所以在汇报交流时，也是以个体为单位的。我的想法是，要么就不让学生去合作交流，要让学生合作交流，则至少保证有5分钟以上的时间。
3、学生在合作交流时，需要明确的角色分工吗？很多资料上指出，在小组学习时要有明确的角色分工。比如，主持人、记录员、噪音控制员等等，一个小组，好似一个小的社会。我总感觉其中的“形式化”太强。要有一个好的机制，让小组内的发言机会平等，让小组内的合作交流有序地进行，是非常必要的。但分工一明确，学生们的注意点在什么地方呢？记录的想着记录，噪音控制员关注着噪音，谁在专注地思考问题？形式化的东西一旦成为关注的热点，实质性的东西就在慢慢地淡化。我赞成另外一种做法，就是小组长轮换制和发言代表轮换制。
三、 是评判，还是促进？
[案例4]《循环小数》教学片段：
接着案例3的B教学。讨论完分类和名称以后，讨论用图形来表示他们之间的关系。
师：用怎样的图形，可以把它们的关系表示出来呢？哪个小组愿意第一个交流？
小组代表发言。（用画韦恩图的形式，表示出有限小数、无限小数、循环小数、无限不循环小数以及纯循环小数和混循环小数之间的关系）
A教学：
师：这个小组用这个大圆圈代表着所有的无限小数，然后分为两部分，一部分是循环小数，一部分是无限不循环小数。可以吗？
生：可以。
师：是啊！我们可以……
B教学：
师：他们用这样的图形来表示这些数的关系。有道理吗？让我们请这一小组的同学来给我们解释一下，好吗？
老师有个建议，咱们来个小组比赛。等他们解释完以后，咱们针对这个图形来个现场提问，谁提出的问题，这一小组的同学都回答不出，提问题的小组就加一分。但提出的问题自己要能回答，否则倒扣一分。如果没有问倒这个小组，他们就加五分。同意吗？
生；同意！
师：那就开始吧！
小组代表发言结束后，其他小组的同学争先恐后地提问题。这个小组的同学也极力地回答。
在学生进行小组讨论时和讨论结束后，教师应做些什么呢？我以为：
1、教师要满怀热情地深入到小组讨论中去。指导学生合作，提醒学生倾听，发现合作交流中的闪光点和不足之处。同时，还可以以组员的身份参与讨论。
2、在小组汇报合作结果的时候，小组代表通常都是说给老师听的，再由老师把他们说的内容抛给其他学生，让大家去思考其正确性。这时，教师的身份已变成了一个信息的“中介者”，信息交流总是以“生——师——生”的固定模式在进行着。我们不能满足于这种现状，我们要拓展出生与生直接交流的空间。教师不能作为一个中介者，更不能作为唯一的评判者，教师要做的工作应该是组织、指导和促进小组之间的合作交流。象上述B教学中，教师就是利用小组竞争这种常用的机制，把学生发现问题、提出问题、解答问题以及相互辩论的积极性充分调动起来，小组之间的合作交流这时是实质性的，还是流于形式呢？
3、还需提及的是，学生能否很好地合作交流，很大程度上取决于教师是否营造出一种宽松愉悦、畅所欲言的氛围，教师内心中是否愿意与学生真正地平等对话。
四、 是环节，还是方式？
[案例5]《圆的认识》教学片段：
课始。
A教学：
师：同学们，大家知道，这是什么图形吗？
生：是圆形。
师：真好！在生活中哪些地方有圆形呢？
生：……
B教学：
师：同学们，咱们今天一起研究圆的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关圆的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗？
各个小组代表开始交流。
[案例6]《百分数应用题的复习》教学片段：
临近下课。
A教学：
师：同学们，我们已经学会解答百分数应用题。在解答百分数应用题时，我们应注意些什么呢？
生：……
师：好！大家回去后，把练习十的第2——5题解答在家庭作业本上。
B教学：
师：同学们，这几天我们一直在学习解答百分数应用题。你对这段时间的学习感受怎样呢？明年这个时候，五年级的同学也要学习这个内容了，你们有什么学习经验告诉他们吗？你们能以小组为单位，把你们的感受和经验用数学小报的形式表示出来吗？
好！老师期待着大家精彩的小报。哪组办好了，就把它贴在后面的黑板上，让我们全班同学分享。
一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢？我们经常这样讨论着。细细分析这种讨论，它其实是把合作交流局限在教学环节之上。试想，一节课都让学生在小组内合作交流，又有何妨呢？下节课再整理归纳就是了！打破知识的分割，建立一种大的课程观和教学观，我们完全可以在课堂内探索更大时空的合作与交流。同时，合作交流不能仅仅限于课内，学习小组不能是课内象集体，课外如“散兵”。课外的合作交流，更能发挥学生的积极性，更能调动他们的集体荣誉感。让我们从整体着眼，从形成氛围和培养习惯入手，积极地将学生学习数学的过程变成一种师生不断“对话”与“协作”的过程，让合作交流的学习方式发挥出它更大的效应。
8、怎样促进学生的动手实践
一、 是知行，还是行知？
[案例1]《轴对称图形》教学
A教学：
师：同学们，观察这几个图形，它们有什么共同的特征吗？
（屏幕上出现圆、长方形、等腰梯形等图形，并演示分别把它们对折重合的情形）
生：这些图形对折后，两边大小相等。
师：像这些对折后两边完全重合的图形，我们叫它对称图形。观察一下，下面图形是对称图形吗？（出示几个图形）
生：……
师：（媒体再次演示对折的情形）大家看见这条对折后留下的折痕吗？
生：……
师：这条折痕，我们就把它称为对称轴。每个同学拿出你们的长方形、正方形与圆形纸片，折折看，并画出它们的对称轴。
……
B教学：
师：咱们做个试验。在纸上滴一滴墨水，然后马上将纸一折为二。再展开，我们能发现什么呢？
生做试验。
师：谁来交流与展示一下，你们是怎样做的？发现了什么？
生：……（图1）
（图1） （图2） （图3）
师：（媒体出现图2）小明用颜料在四张纸上分别画了以上图形，他很快将纸对折后再展开，这四张纸上会出现什么样的图形呢？
生：……
师：（屏幕出示图3）你也能用这样的方法，画出如同屏幕上的三个图形吗？
生：……
师：你还能用这种方法画出其他的图形吗？能画出我们曾经学过的平面图形吗？
生画，师组织交流。 （图4）
师：小华用这种方法画出了这样的图形（见图4）。
想想看，他是怎样画的？又是怎样折的？
你能把折痕描出来吗？
……
[案例2]《8的组成》教学
A教学：
师：小朋友们，7＋（ ）=8会填吗？
生：……
师：那也就是说7和1组成8。跟老师说一遍。还可以怎么说？
生：1和7组成8。
师：6加几等于8呢？
生：2。
师：那我们就可以说……？
生：6和2组成8，2和6组成8。
师：5和谁可以组成8呢？
……
B教学：
师：小朋友们，帮老师想个问题：如果老师在两个盆子里各撒了一把米，有8只小鸡跑过来吃米。每只盆子边会有几只小鸡在吃米呢？
生：每只盆子边有4只小鸡。
师：一定吗？
生：不一定。还可能是一边3只，一边5只。
师：还有什么可能呢？
生：……
师：一共可能有多少种情况呢？小朋友能分别把它们画出来吗？
生画，师组织交流。
……
“听过的，忘记了；看过的，记住了；做过的，掌握了。”没有亲身的体验，没有积极的活动，很多知识便如同“过眼烟云”，很难扎根在学生脑海中。把“学数学”变为“做数学”，把“书本的数学”变为“活动的数学”，让学生在活动与应用的过程中去体悟与理解知识，是建构主义所大力倡导的理论，也是我们一线教师必须积极实践的课题。
二、 是复制，还是探索？
[案例3]《三角形的面积》教学
A教学：
师：怎样求出三角形的面积呢？我们来做个试验。请同学们拿出两个完全一样的三角形纸片。
生拿纸片。
师：大家看看书上的示意图与箭头所指的方向，跟着老师一起做。我们将这两个纸片完全重合后，把一个纸片旋转过来，再平移到这个位置，然后向上推。
（生边看书，边跟着老师做。）
师：这个过程，我们可以概括为“重合—旋转—平移—上推”。我们再做一遍。
（生再做一遍，并口念“重合—旋转—平移—上推”。）
师：现在我们发现这两个三角形形成什么形状了？
生：平行四边形。
师：平行四边形的面积与三角形的面积是什么关系呢？
……
B教学：
师：怎样求三角形的面积呢？我们能否思考一下：
1、 我们原来是怎样求平面图形的面积的？它对我们有帮助吗？
2、 我们学过哪些平面图形的面积计算方法呢？对我们有帮助吗？
3、 用三角形纸片试试看。一张有困难的话，能用两张吗？
生动手操作。
师：能求出三角形的面积吗？谁愿意交流一下？
……
[案例4]《长方体的认识》教学
A教学：
师：观察一下，长方体的棱有什么特征呢？
生：每四条棱的长度相等。
师：是吗？请同学们用尺分别测量一下，看看哪些棱的长度相等。
生测量。
师：谁来汇报？
……
B教学：
师：（出示长方体框架教具）你们也能利用手头的材料，搭出一个长方体框架吗？
（每4人小组桌子上有近20根小棒和一些橡皮泥，其中有一些小棒的长度相同）
学生以小组为单位搭建。
师：哪个小组来交流与展示一下你们的作品？
生交流。
师：能谈谈体会吗？
生：我们觉得相同方向的小棒的长度必须相等……
师：有没有哪个小组搭建不出长方体。
生：我们，因为我们的材料里面有一组只有三根小棒的长度相同，找不出第四根了……
师：我们把方向相同的小棒看作一组，每组应是几根呢？这四根小棒一定要……？为什么？
……
动手必须与动脑相结合。如果学生的动手实践变成了简单地执行老师的任务，变成了一种对书本的模仿与复制，只需手的运动而无需脑的兴奋，那么它的功效将会大大降低。动手实践，需要一定的思维空间与思维坡度，需要一种积极探索的心理状态，需要具有鲜明个性特征的思维活动。让“Hands
on”的理念建立在自主探索的基础上吧。
三、是小课堂，还是大社会？
[案例5]《毫升的认识》教学
A教学：
师：容积单位不仅有升，而且还有毫升。1升等于多少毫升呢？
我们看，这是200毫升的量杯，用它装水倒入1升的量杯中，要倒几下呢？谁上来试试？
生上去操作。
师：同学们观察到了吗？一共倒了几下？
生：5下。
师：说明1升等于多少毫升？
生：1升等于1000毫升。
师：谁再上来验证一下？
……
B教学：
师：容积单位不仅有升，而且还有毫升。相信大家一定已经到市场上去搜集了很多关于毫升的资料。谁愿意把你获得的资料与大家分享一下？
生：我在雪碧罐上、椰子汁罐上分别看见了335ml、250ml的字样，我想它们的容积也分别就是335ml和250ml。
生：我知道白酒瓶上一般标上500ml，而啤酒瓶上却是640ml。
……
师：同学们知道得可真多。有谁知道升与毫升是什么关系吗？
生：1升等于1000毫升。
师：你怎么知道的？
生：我问我爸爸的。
生：我是试验出来的。
师：东西带来了吗？表演给大家看看。
生：这是咳嗽药水瓶，它的容积约是100ml；这是塑料酱油壶，它的容积大约是1升，现在我把……
师：真不错。还有同学也能验证吗？
生：……
师：有谁能知道1ml的水大约是多少？
生：做皮试用的注射器的容积大约就是1ml。
师：我们用钢笔吸点水，然后向一只杯子里挤滴，看看多少滴水就很接近1ml。先估计一下，在挤滴。
生挤滴。
……
师：咱们回家后，想办法把家里的锅碗瓢盆等物体都计量一下，看看它们分别都能容纳多少水，明天我们再交流，好吗？
……
[案例6]《平均数应用题》教学
A教学：
师：今天我们学习了平均数应用题。同学们回家后，把书上练习题的第1——3题作在练习本上。
B教学：
师：今天我们学习了平均数应用题。你们能用今天所学的知识进行一些社会调查与统计吗？老师建议，你们确立一个你们感兴趣的内容，这几天进行一次实践活动或小课题研究，好吗？大家可以独立完成，也可以合作分工。咱们过几天交流。
……
动手实践，它不仅仅是课堂学习中的一个环节，它更是一种贯穿始终的学习方式和学习意识。它不能仅仅局限在小课堂中，它更应延伸到整个家庭和社区。让学生试着用一种数学的眼光观察周围事物，以一种数学的活动投身到整个生活，他们的视野和能力会不一样的。课堂只是一个交流碰撞的场所，真正的功夫在课外！9、怎样发挥教师的引导作用
一、 道而弗牵
[案例1]《长方形面积》教学
A教学：
屏幕上打出一长方形。
师：同学们，我们已经学过面积单位。我们能知道这个长方形的面积吗？
生：可以用面积单位去量。
师：好的。同学们的材料纸上有一个长方形，请你们用材料袋里的面积单位去度量一下它的面积。
（学生度量）
师：谁来汇报一下。
生：这个长方形的面积是12平方厘米。
师：长方形的长和宽各是多少呢？
生：长方形的长与宽应分别是4厘米、3厘米。
师：你们发现了什么吗？
生：长方形的面积等于长乘以宽。
师：真好！这就是长方形的面积计算公式。
……
B教学：
师：你能用边长为1厘米的正方形纸片摆成下面的长方形吗？
（图1） （图2） （图3）
（学生按照老师的要求在桌子上摆）
师：根据刚才的操作，在下表中添入数据，并思考：每排摆几个、一共摆几排分别与长方形的长和宽有什么关系？
图形 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米）
图1
图2
图3
（生添数据，并汇报）
师：长方形的面积与长、宽有什么关系呢？
（出示一长方形，长是5厘米、宽是2厘米）
师：老师在这个长方形的上面摆了一排5个边长为1厘米的正方形。
想象一下，这个长方形上面能摆多少个这样的正方形？它的面积是多少呢？
生：可以摆5×2=10个这样的正方形。面积为10平方厘米。
师：下面这个长方形呢？
（长为7厘米，宽为3厘米）
生：可以摆7×3=21个这样的正方形。面积为21平方厘米。
师：那下面这个长方形，你也
能想象出它上面能摆多少个小
正方形吗？面积是多少呢？
（长5厘米，宽4厘米）
生：可以摆5×4=20个小正方形。它的面积是20平方厘米。
师：如此看来，我们计算长方形的面积，只要怎样？
生：只要把长乘以宽。
……
C教学：
课前，教师要求每个学生准备张材料纸，并在材料纸上画出6个大小不一的长方形（其中有四个长方形的长、宽至少要超过4厘米），并标上长与宽的长度。另外，每个学生再准备几个1平方厘米的正方形纸片（不超过8个）。
师：同学们都在纸上画出了漂亮的长方形。你们能知道这些长方形面积分别是多少吗？
生：能。我们只要用小纸片去度量，就知道了。
师：好的。那我们就去度量一下吧。我们看谁最先知道答案。如果有什么困难的话，可以随时举手询问，我们一起讨论。
学生开始用小纸片度量长方形的面积。
有学生开始举手。
师：有什么问题吗？
生：只有8个小纸片，不够用。
师：不够用？那怎么办呢？
生：我们两个人合用。
师：这样真好。
生：老师，我们两人合起来也不够用。
师：那倒是有些麻烦了。谁有什么好办法？
生：把它的位置空出来，就行了。
师：大家还是自己动动脑筋，试试看。
学生继续度量。
师：好的。大家基本上都度量出了自己的长方形的面积。谁能交流一下吗？
生：……
师：老师很想知道，你们刚才都说小纸片不够了。可后来又是怎样解决这个问题的呢？
课本上的知识是静态的，结果性知识往往要多于过程性知识。教师的引导作用，首先就应体现在把静态的知识转化成动态的知识，让学生参与到知识的形成过程，从而把握数学知识的本质意义，获得数学的力量。在长方形面积的教学中，把学生的思维引导到探索长方形面积公式的过程上来，让他们去体验建立“长方形的面积=长×宽”这个数学模型的过程与方法，是非常紧要的。A教学中，教师虽注意了学生的动手操作，但是在引导学生思维方面就显得太“单薄”了。“道”的作用未能发挥。B教学中，教师充分注意了对学生思维的引导，一步一步地把学生的思维从具体引导到抽象，直至总结出面积公式。环环扣紧，层层推进。只是学生的思维空间究竟有多大呢？学生紧紧地跟在老师后面，总是被动地思考，对学生的思维发展不利。C教学中，老师充分预计学生的思维方法，紧紧抓住“小纸片不够”这个切入点，适时地提醒，适时地讨论。通过解决这个小问题来引导学生的空间想象能力与抽象概括能力。但同时教师没有预设学生的思维过程，而是让学生直接面对更多的问题情景，在更大的空间里促进学生个性化地思考与探索。“备课走在学生前面，上课走在学生后面”，这句话还是有一定道理的。
二、强而弗抑
[案例2]《量长度》教学
师：用你最喜欢的方法，在纸上画出一条线段。
学生画。（教师巡视，发现学生全都是用直尺当工具在画。）
A教学：
（教师心里有些纳闷：新教材上为了体现方法的多样化，还特地呈现出了用文具盒、用三角尺画线段的图例。我们班学生怎么就没人用这种方法呢？）
师：老师刚才发现大家画的都很好。现在请想想看，我们还可以用文具盒、三角尺等作为工具来画线段吗？
生：能！
师：那好。就请同学们再分别用文具盒和三角尺作工具来画一条线段。
……
B教学：
师：大家画的真好。老师也忍不住想在纸上画一条了。可是老师没带直尺，又不想向你们借。我能用什么东西代替直尺来画线段吗？
生1：可以用书本。
生2：可以用这张纸。
生3：可以用文具盒。
生4：可以用粉板擦。
师：呵呵，这么多东西都能当作工具啊。为什么它们都可以用来画线段呢？
生：因为它们的边是直的。
师：咱们就不用直尺，再来画条线段。好吗？
……
[案例3]《13－9》教学
师：13－9等于多少呢？大家试试看。
学生尝试计算。
师：谁来说说你是怎样计算的？
……
学生说了几种计算方法。
（教师发现没有学生说到一个一个地减的方法，可是教材中有这样的图例啊）
师：同学们可以用很多方法进行计算。大家觉得如果我们一个一个地减，行吗？
生：行。
师：（出示13个苹果的图例）我们看，从13里面减去9个，我们可以一个一个地把它划去。1，2，3……9
……
编写教材时，我们可以预计或假设学生的思维。但在实际的教学中，我们决不能为了“体现教材的意图”，为了追求所谓的多样化，而去生拉硬拽，勉强学生。披着新课程的外衣，做着“强制”的事情。方法的多样化，更重要的是，鼓励每个学生用自己最喜欢的方法去做、把最真实的方法表露出来，而不是去体验或运用每一种方法。教师的引导作用体现在启发和激励上，而非勉强与抑制。
三、 开而弗达
[案例4]《工程问题》教学
A教学：
师：下面这道题该怎样解答呢？
修一条公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
B教学：
师：咱们来个比赛，下面这几道题，看谁解答得最快。
1、 修一条长250米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
2、 修一条长150米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
3、 修一条长1000米的公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
4、 修一条公路,每天修全长的15 ,几天才能修好？
[案例5]《分数的意义》教学
A教学：
（电脑屏幕上出示一幅图，图上画了六只熊猫）
师：把这六只熊猫平均分成三份，每份占整体的几分之几呢？（电脑显示平均分成三份）
生1：13
生2：23
生3：……
师：我们仔细看看，这虽然是两只熊猫，但是它占整体的几份啊？
……
B教学：
师：咱们来个快速抢答，好吗？
把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？（生：4支）
把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得的铅笔数是？（生：5支）
把这个文具盒里的所有铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是？
生：是1/2。
师：为什么是1/2 呢？
生1：因为把它平均分成了2份。
生2：因为不知道有几支铅笔，我们可以把它看作一个整体。
师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的？
生：2份中的1份，就是1/2。
师：真好！如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？（生答略）
师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。（拿出6支铅笔）
现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗？
生：能！
师：为什么还能呢？这不是3支了吗？
生1：这3支也是2份中的1份。
生2：1/2也就表示这里的3支。
师：也就是说，把6支铅笔看成一个整体，把它平均分成2份，每一份中的3支铅笔占这个整体的？（手拿铅笔演示）
生：1/2。
师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔还能用1/2表示吗？
（生答）
师：如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
……
学生对于解答工程问题的困难，不在于“工作总量、工作时间、工作效率”数量关系的理解上,而在于把具体的工作总量用抽象的“１”表示、把具体的工作效率用抽象的分数来表示。同样，学生对于理解“把很多物体看成一个整体来平均分”的困难，是在于把握“份数”与“个数”之间的关系。如果我们直接就把问题呈现在学生面前，让学生去理解，有时很难突破难点。反之，对材料进行一定程度的加工，让学生在“体验”中去感悟知识的本质，往往会达到事半功倍的效果。
教师要发挥引导作用，就必须要深入分析学生的思维，精心组织材料。淡化“告诉”，强化“体验”与“感悟”。
[案例6]《分数的意义》教学
（概括分数的意义）
A教学：
师：同学们，刚才我们写出了很多分数。我们来观察一下这些分数。它们分别都是把一个物体、一个图形、一个计量单位以及许多物体组成的整体平均分的。这些我们都可以用一个词来概括。书上用的是什么词？
生：单位“1”。
师：对啦。哪些东西可以用单位“1”来表示呢？
生回答。
师：单位“1”的“1”为什么要加双引号呢？
生回答。
师：把单位“1”平均分，可以2份，也可以是3份、4份……。我们也能用一个词来概括吗？
生：若干份。
师：分数可以表示这样的1份，也可以是2份、3份……书上就概括为？
生：一份或几份。
师：明白这几个词的意思了吗？
生：明白了。
师：那好。我们共同来把分数的意义齐读一遍。
……
B教学：
师：说说下列分数所表示的意义。（出示：57 ）
生1：把一组红旗平均分成7份，表示这样的5份的数。
生2：把一个蛋糕平均分成7份，表示这样的5份的数。
生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
师：到底把一个什么平均分呢？我们能不能用一个词概括一下？
生1：用一个单位。
生2：用一个整体。
师：反正都是一个什么！就用“1”吧！书上称为？
生：单位“1”。
师：好的。说说下列分数所表示的意义。
师出示38 。（生说）
师再出示： ，
生：把单位“1”平均分成……（这里有几种不同的声音出现），表示这样的3份的数。
师：为什么大家在这个地方的声音有些不整齐了？
生：因为它平均分成的份数不确定。
师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括？
生：若干份（师板书，生完整说一遍意义）。
师再出示： ，谁又能说说它所表示的意义呢？
生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
师：真好！用若干份来代替不确定的份数。可是好象与前面有重复的感觉。能换一个词吗？
生：一份或几份。
师：它要么表示的是这样的1份，要么表示的是这样的几份，用这个词，同意吗？（师板书，生齐读）
师：再出示 ，怎么样，再说说！
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
师：这就是分数的意义！
……
如其让学生去理解书本上的概念，还不如让学生去创造自己的概念，并让书本概念与自己的概念能够相融。如何能让学生“水到渠成”地创造出概念，是教师作为一个引导者必须努力探索的课题。
10、怎样让学生的数学学习更富有个性
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。”怎样让学生的数学学习活动更富有个性呢？
一、 是控制，还是服务？
[案例1] 《分数大小的比较》教学
A教学：
师：25 和35 谁大呢？
生：35 大。
师：同意吗？
生：同意。
师：我们看，25 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
生：分数单位是15 ，有2个15 。
师：35 的分数单位是？有几个这样的分数单位？
生：分数单位是15 ，有3个15 。
师：因为3个15 比2个15 大，所以？
生：35 比25 大。
师：谁能把刚才的话连起来说一遍？
生：25 的分数单位是15 ，有2个15 ；35 的分数单位也是15 ，有3个15 ；因为3个15 比2个15 大，所以35 比25 大。
师：谁能仿照刚才的说法，说说38 与58 的大小？
……
B教学：
师：25 和35 谁大呢？谁能用你最喜欢的方法说说理由？
生1：35 大。因为3份总比2份大。
生2：一个是2个15 ，另一个是3个15 。肯定3个15 比2个15 大。
生3：我们画画示意图就知道了。（到黑板上画）这表示35 ，这表示25 ，很明显35 比25 长。
生4：……
师：真好！我们可以有很多理由说明35 比25 大。这两个分数有什么相同点与不同点吗？
生：分母相同，分子不同。
师：分母相同就说明了什么？分子不同呢？
生：分母相同说明每份数相同，分子不同说明含有的份数不一样
师：这样比较分母相同的分数大小的时候，我们只要怎样？
生：看分子。
……
我们总喜欢循循善诱，而很多时候，我们的这种循循善诱是在一种“打乒乓”式的问答中进行的。在“启发”的光环下，教师的思维代替或控制了学生的思维。学生还需要自己个性化的想法吗？真正的教学，是要把学生带入一个“渔场”，让他们有一个探索的空间与交流的阵地，而不一定就是要提供多少现成的“鱼”或“渔”。
[案例2]《小数的性质》教学
通过人民币单位的换算、长度单位的换算等例子，老师在黑板上写出了三个算式：
0.3=0.30=0.300
0.5=0.50=0.500
1.8=1.80=1.800
A教学：
师：请同学们仔细观察上面的三个算式，并思考下面的问题：
1、 从左往右看，你发现了什么？
2、 从右往左看，你又发现了什么？
3、 你能得出什么结论吗？
B教学：
师：黑板上出现了这样的三个算式。
1、 你也能写出几个和它相类似的算式吗？并说说几个数之间为什么可以画等号。
2、 你能写出多少个这样的算式？为什么？
你能用语言把你的发现描述出来吗？
……
我们好象是引导学生在主动发现规律。但深究其实质，学生需要动多少脑筋呢？面对一个数学现象（或问题情景）时，我们老师能不能“少规定些路线”、“少插一些路标”，而让学生自己去探索、体验和感悟呢？
二、 是抱怨，还是赏识？
[案例3]《角的认识》教学
师：谁能到黑板上画一个角？
（一学生在黑板上画了一个角，但是他画角的时候并没有按照规定从一个顶点出发）
A教学：
师：同学们，他画得对吗？
生：对！
师：对？！你们注意到了他画角的顺序吗？角的两条边应是什么线？
生：射线。
师：射线应怎样画？这样画行吗？（用手比划）
生：不行。
师：那他画得对吗？
生：不对！
……
B教学：
师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
生：我画出了一个顶点、两条边。
师：一个角有几个顶点？几条边？
生：一个顶点、两条边。
师：好极了。大家都能画出角吗？
生：能！
师：老师有个建议。想想看，角的两条边分别是什么线？
生：射线。
师：既然是从一点引出的两条射线（用手比划），我们画的时候最好按什么样的顺序画呢？
……
C教学：
师：感谢这位同学，为我们画出了一个角。（面向画角的那位同学）你能谈谈体会吗？
生：我画出了一个顶点、两条边。
师：一个角有几个顶点？几条边？
生：一个顶点、两条边。
师：好极了。一个顶点、两条边就组成了一个角。大家都能画出角吗？
……
偶尔的一次否定并不足为奇，但是如果学生因为数学的严密而经常地遭到否定，那么他对数学的认识会是怎样的呢？他还愿意尝试吗？他还会积极地动脑筋想出自己的方法吗？更何况，所谓的数学严密性真的就那么重要吗？“从一点引出两条射线就组成了角”是对的，但是我们仅仅因为这句话，就能规定“角的两边一定是射线”、“画角时一定要按照画射线的方法”吗？
[案例4]《多一些、少一些》教学
教师出示选择题：
苹果有60个，梨的个数比苹果少得多，梨有多少只？
a 28 b 48 c 50
师：应该怎样选择呢？
生1：28只。
师：还有不同意见吗？
生2：48只。
A教师：48只对吗？
生3：不对，应该是28只。因为……
B教师：你选48只，能说说你的想法吗？
……
教师的作用不是评判，而是激励；教师需要的是倾听，而非主观臆断。学生在学习中应该有犯错误的空间，更应该有表达自己的权利。即使我们认为学生的答案是绝对错误的时候，多问一句“你是怎样想的”，又费多大力气呢？简单的一句问话，也许会给我们带来许多意料不到的惊喜。
三、 是填空，还是选择？
[案例5]《分数的意义》教学
A教学：
师：请同学们拿出有关材料，我们在操作中学习分数的知识。
把一张纸平均分成2份，表示出它的12 。
生：……
师：把这条彩带折成8等份，表示出它的38
生：……
师：拿出这捆小棒（6根）的23
生：……
B教学：
师：同学们，老师要求大家带一些小物品到教室来，你们都带来了吗？都有些什么呢？
生：我带了纸张、小棒……
生：我带了橡皮泥、小圆片……
师：真好。大家带来了这么多物品，你们能分别拿出每样物品的23 来吗？
生：……
师：你们能自己先想一个分数，然后再用每样物品的一部分表示出这个分数吗？
生：……
[案例6]《三角形面积》练习
A练习：三角形的底是3厘米，高是4厘米，它的面积是多少？
B练习：画一个面积为6的三角形。你能画出几种？
固定的材料，固定的方法，固定的结果，何以构建个性化的学习？把空间增大，让教学开放，需要我们关注每个教学细节。只有当学生真正地有了“自决权”的时候，个性学习才会有可能。
[案例7]家庭作业的布置
A教师：今晚回家，做练习×的第×到第×题。
B教师：同学们可以继续选定自己的家庭作业。可以做今天学的内容，也可以做明天将要学的内容。可以写数学日记，也可以作预习笔记……
大量的统一的家庭作业，对于很多基础好的同学来说，其实是一种精力浪费，他们完全可以把精力花在更有价值的学习上。而对于基础较差的同学，又是一项沉重的负担。为何不让他们各得其所呢？相信他们，给他们自己以选择的机会和责任，对于孩子个性与主动性的培养，对于孩子良好学习习惯的养成，都会有很大的益处。