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俯视“字母表示数”教学
作者:河北苑捷 来源:xsk 点击:2602次 评论:0

诗人对人生须入乎其内,又需出乎其外。入乎其内,故能写之;出乎其外,故能观之。

——王国维

优秀诗人境界应该若此,优秀教师也同样需要这样的高度。问鼎这一高度,事实说明我们依然面临着道路曲折征程漫长。

下面的镜头暗示了我们的功力远远没到火候——

某教师借诗歌引入“字母表示数”:1只青蛙1张嘴2只眼睛4条腿扑通1声落下水,2只青蛙2张嘴4只眼睛8条腿扑通2声落下水,3只青蛙3张嘴6只眼睛12条腿扑通3声落下水...续唱无以穷尽,学生们其乐陶陶。话锋斗转,“你能想办法唱下去吗?”注意到大屏幕的提示,学生顿时会心的笑了,教学重点巧妙达成...

 一旦注意到数据整理后的有序排列,一旦认识到无穷无尽的歌唱应该换做更为简洁的方式,一旦某些学生尚还记得可以用字母表示具体数量,教学重点教学难点都会不攻自破,教学随即梳理成章进入下一环节“寻找字母表示具体数的实例”。教学貌似天衣无缝无懈可击,对比北师大教材“用火柴棒摆正方形发现火柴棒数量和正方形数量关系的案例”不难得知,极力压缩字母表示数的登场过程之后,数学的味道过于淡了。
就读于某重点中学某个成绩不错的学生喜滋滋地找到我:“明眼人一望就知三边即6、8、10,勾股数啊...”当我试探询问还有无其它方法时节,她迷惘地瞪大了眼睛,“还有啥办法...”。问题见下:
直角三角形一条直角边长为8,斜边比另一直角边大4,求此三角形的面积。
明眼人一望,确实应该知道:解决问题关键就在于求第二条直角边的长度,一经得解,大功告成。位置数量,当然可以用字母(未知数)替代,应用勾股定理列方程不难解决。稍稍提示,那个学生一拍脑门“原来几何问题还能用方程解决...”字母表示数的思想,原来根本就没进入他的视界,换句话说,我们并没有让宝贵的代数思想在他心目中真正扎根。
字母表示数,“没有牛伯伯说的那么浅,也没有小松鼠说的那么深”,问题在于我们并没有入乎其内也没有出乎其外。深入教材、深入思维、深入学生才是代数思想渗透的恰当指南。
 
改造“火柴棍摆放正方形”问题,凸显抽象字母代替具体数字的漫长过程,强调代数思想产生的必要——

 

红红同学在玩火柴棍游戏,观察正方形构造过程,请回答:


 
1.摆放4个正方形,需要火柴                  根;
摆放5个正方形,需要火柴                  根;
解答这一问题,观察所给图形即可,思维含量很低很低,轻而易举。但是,任何数学问题的成功解决,都离不开一丝不苟观察,数一数只是观察所采取的正确简单途径。
2.摆放6个正方形,需要火柴                  根;
摆放7个正方形,需要火柴                  根;
问题并没给出摆放6、7个正方形的情形,显然超越了单纯地观察。观察同时,意味着条件正确把握的,摆放如何由简单到了复杂,只有继续摆放或者画一画或者干脆想一想还要增加若干个才能完成。操作层次实现了复杂程度综合程度的提升。
3.摆放10个正方形,需要火柴                  根;
摆放15个正方形,需要火柴                  根;
摆放50个正方形,需要火柴                  根...
如果说10个正方形还能够用实物方式(火柴实物或者绘制草图)展示的话,15个、50个乃至更多个正方形的摆放,一是过于枯燥没人乐意单调重复,二是需要火柴数量太大或者绘制草图篇幅太,单纯实物演示遇到了困难。实物操作过渡到发现摆放过程中的具体特征成为了极其迫切的需要,回忆摆放过程学生会有各式各样的感悟,比如每多摆一个相应火柴棍增加3根,即除去第一个正方形外,余下正方形只需要3的倍数的火柴,10个正方形需要4+9*3,以此类推。学生的思考逐渐脱离了具体走向了抽象,感性升华到了理性。
 
4.摆放无穷无尽,如果想要摆放n个正方形,此时需要火柴棍          根;
简洁是数学特有的美,既然摆放无法表述完整,能否有一种方法来概括出如此众多的重复表达,学生定然会心生解决的迫切。至此,用字母代替一个个具体的数字就成为了向往和趋势。n就是如同前面的3、4、10无异,不过更具一般性而已,宝贵的代数萌芽雏形顿显。
5.如果摆放201个正方形,你能迅速得到所需要的火柴数量吗?
不可避免,许多学生还会重复问题的分析过程。这点,无可指责,甚至鼓励分析过程的再次演示。但重要的,我们要善于捕捉,发现个别优秀的学生直接利用一般结论,将n换做了具体数值201,字母与数字实现了良性转化:具体数字可由抽象字母表示特殊转向了一般,抽象字母也可以代入具体数值进行运算一般又回到了特殊。
6.某次摆放,用到了32根火柴,你觉得可能吗...
需要指出:字母代替数,可以替代整数也能替代分数,可以表示正数也能代表负数,不过具体情形限制了代替的范围而已。其次,数学是用来解决问题的,有使用价值的知识才有力量。抛出的问题,涉及字母取值都限定于正整数的,不知情的学生以为顺理成章,很有可能会产生字母只能代替自然数的误解。重放摆放过程,第一个用了四,余下的应该是3的倍数,32减去4等于28当然不满足要求,问题得解。我们也可以利用研究结果,3n+1=32,得到n=31/3,着重强调:字母是可以取任何数值的,但背景制约此时不可。字母表示所有数的代数观点得到了静悄悄地渗透。
7.如果摆放等边三角形,你能求出第n次摆放需要的火柴吗?
研究过程,字母逐渐代替数字的过程,实际严格在教师引导下完成的,学生自主发挥空间并不大。确切说,学生对具体数字抽象成字母的印记还不会太深。这一环节,由学生自己画图或者摆放,自己体会火柴数量与三角形数量的依存关系,而字母表示数同样是学生自己抽象而得的,知识经由此过程被学生理解接纳运用。
注重牢牢指向教学重点,紧紧抓住字母表示数这一核心环节,拒绝不必要的浪费——
寻找正方形个数对应的火柴棍数量是难点,而一味在此摸爬滚打将使教学重点的呈现大打折扣。规律探索与字母表示有机结合才能烘托出教学的高效。
 
如:表格式梳理循序善诱




正方形个数


4


5


6


10


15


50


...


n



火柴数量


4+3*3


4+4*3


4+5*3


4+9*3


4+14*3


4+49*3


...


 

 

再如:图形演示一目了然


规律研究今后还将继续,现在重点在于用字母把第n个图形的数量表示出来。将学生运用的多种方法整理,既提供了科学的研究方法而且深化了数字用字母表示的理解同时还加快了学习节奏,可谓一举三得。

 

弥补教学弱势,调整学生兴奋点,呈现字母表示数的全景,代数的巨大价值方能浮出水面——
1.问号代表的式子为        。

 





x


0.3


0.5


0.6


1


15


50


...


x



y


0.3*5+1


0.5*5+1


0.6*5+1


1*0.5+1


15*0.5+1


50*0.5+1


...



 

2.广州至北京2000km,某车自北京出发速度v,t小时时距北京距离为       ,距广州       ....
摆放图形的制约,字母只能取正整数,事实远非如此。但问题难度较大占用时间较长,学生心中难免会留存字母对应正整数的误区。因此,拿出有限时间及时调整站位,还原字母的真实作用:可以表示学习过的任何数,这是相当必要的,可以避免日后不必要麻烦的产生。
没有最好,只有更好,课堂教学鲜有完美精湛无懈可击的,不断改进才能自我的不断超越。其实,瑕疵的出现往往源于我们的站位不高进而没有实现对教学的整体把握。停滞于正方形摆放的过程分析剥夺了教学重点的权重,满足于借助摆放规律创设的字母表示自然数的喧哗而忽视了字母代表数的广泛性,满足于单元课时花拳绣腿而忽视了字母表示数在初中数学的巨大价值,诸多问题的渊源就在这里。真正搞清所学内容的地位、联系、与思维培养的意义、文化价值,才能打造出数学课堂的应有味道,字母表示数的教学如此,其他内容也如此。

 
写在2016秋季开学前夕
更新:2016/8/22 5:40:56 编辑:fengyefy
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