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觉得数学应用题没意思,只是因为你外行
作者:曹培英 来源:当代教育家 点击:1650次 评论:0

从小到大,我们做过无数的数学应用题,大家普遍认为数学应用题没意思。有个相声曾专门调侃“水池蓄水”这道数学应用题,说把池子灌满,光开进水管就行了,现在两管同开,不是典型的浪费水资源吗?
但是,著名特级教师曹培英却说:“他不懂,这其实是一个简单的动态平衡模型。把它换一个说法,你就觉得有用了。”

到底是怎么一回事呢?

曹培英:上海市著名特级教师、上海静安区教师进修学院副院长。

小学人教版的“烙饼问题”是一个经典例题。

早餐要吃烙饼,爸爸、妈妈和我每人1张。家里的煎锅每次只能烙2张饼,2面都要烙,每面3分钟。问:怎样才能尽快吃上饼?

审题是落实核心素养的第一步,也就是要分清楚条件和问题。就这道题来说,每次只能烙2张饼的准确含义是——烙1张可以,最多烙2张。爸爸、妈妈和我各要1张,言下之意是要烙3张。问的是“尽快”,意味着不可以一张张烙。

这样理解了条件和问题后,学生就开始计算:1张2面,每面3分钟,一锅可以同时烙2张,烙完需6分钟。剩下1张单独烙,也是6分钟。所以,烙3张共需12分钟。

当然会有学生质疑说,这不是最优方案,因为烙第三张饼的时候,锅的另一半是空着的。如果每次总能烙2张,别让锅空着应该是最省的。这就提出了一个猜想:3张也能不空。是这样吗?我们试一试:
1
第一步:第一第二张饼烙正面,3分钟;
2
第二步:第一张饼烙反面,将第二张饼拿出来,换第三张饼烙正面,3分钟;
3
第三步:第三张饼烙反面,第二张饼重新放进来烙反面,3分钟。

这样总共花费9分钟,时间最省。

 

问题解答到这里似乎是解决了,但我在上海两次听课都有学生提问:第二张饼烙了一面拿走,晾在那里会不会半生不熟?老师的回答大同小异,说这是数学抽象,一些细节可以忽略不计。这么回答是对的,因为数学建模的时候只抽取关键量,不会考虑所有量。但是,这并不能令学生信服,因为这是联系实际的模型,必须经得起实际的检验,否则学生就要怀疑问题的意义。其实,如果你有生活经验,这个问题是很好回答的:把暂时不烙的第二张饼叠在1号饼上面,不就保温了吗?

再接下来,有的老师通过列表,让学生找到了一般的运算规律:3n(n是大于1的整数)。这已经不属于四年级下学期的学习范围了,他没有触及本题的真正核心。为什么偏偏要研究3张饼?首先,因为双数张饼正好可以一锅两个同时烙,不需要探究。而当我们知道了3张饼要烙多久后,烙5张饼的时间就相当于:烙3张饼的时间+烙2张饼的时间,烙7张饼的时间就相当于:烙3张饼的时间+烙4张饼的时间……依此类推,自然也不需要探究了。

继续拓展:如果将锅换得大一点,每次能烙3张,6跟9这些3的倍数就不用探究了,我们只需探究4张、5张的情况。4张探究了以后,7、10、13、……4+3n张不用再探究了。5张探究了以后,8、11、14、……5+3n张不用再算了。至此,其实是在引导学生做进一步的抽象,并在此过程中,渗透进一个很重要的数学背景——同余类(余数相同可以分为一类)。

也有一些老师不这样拓展,而用另一种思想启发学生:烙一张饼一定要6分钟吗?能不能优化烙一张饼的时间呢?他的潜台词是:数学解救不了的靠工具,比如现在市场上销售的都是双面烙饼铛,或者想办法让火更旺些。按照这样的思路,最快的方法就是买现成的饼吃,课还要上吗?我认为,这是误入了“非数学问题”的歧途。

其实,烙饼问题就是数学中典型的统筹规划模型,培养的是数学核心素养之一——建模。建模有以下几个步骤:建模准备,在烙饼问题中对应的是审题;模型假设,进行猜想——烙三张饼锅也能不空;模型构建——学生进行探究;模型求解——得出结论;检验——从数学上检验9分钟最省,因为锅始终不空,从生活经验检验,一张饼烙了一面叠起来,可以避免半生不熟。最后还有一个重要的环节——运用。烙饼问题在日常生活的广泛运用,正能够证明它作为模型的典型性和实用性。

例如:3辆洒水车一起加水,加满一车要8分钟,现在只有2个水龙头,怎样安排才能让3辆车尽快一起开走?一种电脑小游戏玩一局要5分钟,可以单人玩也可以双人玩,现在小东和爸爸妈妈一起玩,每人玩2局,怎么玩最省时间?四年级的孩子对这道题特别感兴趣,用连线的方式解答了出来。

你看,烙饼问题只是模型的载体,这里用不到,其他地方总会用到。饱受批评的水池问题也是如此:

一个水池,单开进水管60分钟满,单开排水管90分钟完。先开进水管20分钟,再两管齐开,多少分钟后注满?

有个相声专门调侃这道题,说把池子灌满光开进水管就行了,现在两管同开,不是典型的浪费水资源吗?他不懂,这其实是一个简单的动态平衡模型。我把它换一个说法,你就觉得有用了:

一个展馆只进不出,60分钟人满为患。只出不进,90分钟满场的人可以走完。开馆前20分钟只有进没有出,20分钟后有进有出,问多少分钟后需停止售票?

这个问题就有实际意义了,因为如果不进行人数控制,有可能发生踩踏事件。而我们的应用题之所以沦落到被外行人批判的地步,一是因为取材不当,二是因为加工过度。但是,我们不能因此而否认这些题目承载的数学模型的价值。

更新:2017/7/5 6:49:04 编辑:fengyefy
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